Derivadas e Séries de Taylor

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Resposta: \(f'''(x) = -\sin(x)\). 
 Explicação: A terceira derivada de \(\sin(x)\) é menos o próprio seno. 
 
294. Problema: Qual é a série de Taylor da função \(f(x) = \ln(x + 1)\) centrada em \(x = 0\)? 
 Resposta: \(f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\). 
 Explicação: A série de Taylor da função logarítmica é conhecida. 
 
295. Problema: Se \(f(x) = \tan(x)\), qual é a derivada segunda de \(f\)? 
 Resposta: \(f''(x) = 2\sec^2(x)\tan(x)\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente e a regra da cadeia para calcular a segunda 
derivada. 
 
296. Problema: Qual é a série de Maclaurin da função \(f(x) = e^x\)? 
 Resposta: \(f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\). 
 Explicação: A série de Maclaurin da função exponencial é conhecida. 
 
297. Problema: Se \(f(x) = \sin(x)\), qual é a derivada quarta de \(f\)? 
 Resposta: \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\). 
 Explicação: A quarta derivada de \(\sin(x)\) é \(\sin(x)\) mesma. 
 
298. Problema: Qual é a série de Taylor da função \(f(x) = \cos(x)\) centrada em \(x = 0\)? 
 Resposta: \(f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots\). 
 Explicação: A série de Taylor da função cosseno é conhecida. 
 
299. Problema: Se \(f(x) = \sqrt{x}\), qual é a derivada primeira de \(f\)? 
 Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente para calcular a primeira derivada. 
 
300. Problema: Qual é a série de Maclaurin da função \(f(x) = e^x\)? 
 Resposta: \(f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{