Sendo z = cos (xy) + y cos (x), onde x = u² + v e y = u – v²: a. Esboce o diagrama de árvore para derivação em regra da cadeia da função z. b. Calc...

a. O diagrama de árvore para a derivação em regra da cadeia da função z é: ``` z = cos(xy) + ycos(x) = cos(u²v + v²u) + (u - v²)cos(u² + v) z / \ u v | | v u² | cos | v²u | x | cos | xy | cos ``` b. Para calcular as derivadas de z com relação a u e v, usamos a regra da cadeia: ``` dz/du = dz/dx * dx/du + dz/dy * dy/du dz/dv = dz/dx * dx/dv + dz/dy * dy/dv ``` Calculando as derivadas parciais de z em relação a x e y: ``` dz/dx = -ysin(x) - vsin(u² + v) dz/dy = cos(xy) - sin(x) ``` E as derivadas parciais de x e y em relação a u e v: ``` dx/du = 2u dx/dv = 1 dy/du = 1 - 2v dy/dv = -2v ``` Substituindo na regra da cadeia, temos: ``` dz/du = (-ysin(x) - vsin(u² + v)) * 2u + (cos(xy) - sin(x)) * (1 - 2v) dz/dv = (-ysin(x) - vsin(u² + v)) * 1 + (cos(xy) - sin(x)) * (-2v) ``` Substituindo as expressões para x e y em termos de u e v, temos: ``` dz/du = -2u(vsin(u² + v)) + (cos(u²v + v²u) - sin(u² + v))(1 - 2v) dz/dv = -sin(u²v + v²u) - 2v(cos(u² + v) - ysin(u²v + v²u)) ```