C2 Lista de Monitoria 7 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 7 
Equipe de Monitoria
1. Se z = f(x, y), onde f é diferenciável, e
x = g(t).
g(3) = 2.
g′(3) = 5.
fx(2, 7) = 6
y = h(t)
h(3) = 7
h′(3) = −4
fy(2, 7) = −8
determine
dz
dt
quando t=3.
2. Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas
∂z
∂u
e
∂z
∂v
das funções.
a) z = cos(exy), x = u+ v e y = u− v.
b) z = x2 + y4 − xy, x = u2 e y = 2v.
c) z = ln
(
x+
y
x
)
, x = 1 + u2 e y = |u+ 2v|.
d) z = arcsen(x− y), x = u2 + v2 e y = 1− 2uv
e) z = x2y3, x = u cos (v) e y = u sen (v)
f) z = ex+2y, x = u/v e y = v/u
3. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
a) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ vew;
∂z
∂u
,
∂z
∂v
,
∂z
∂w
, quando u = 2, v = 1, w = 0
b) u =
√
r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t;
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂t
, quando x = 1, y = 2, t = 0
c) w = xy + yz + zx, x = r cos θ, y = r sen θ, z = rθ;
∂w
∂r
,
∂w
∂θ
quando r = 2, θ = π/2
d) P =
√
u2 + v2 + w2, u = xey, v = yex, w = exy;
∂P
∂x
,
∂P
∂y
quando x = 0, y = 2
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Universidade Federal do Pará
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e) N =
p+ q
p+ r
, p = u+ vw, q = v + uw; r = w + uv
∂N
∂u
,
∂N
∂v
,
∂N
∂w
quando u = 2, v = 3, w = 4
4. Calcule
dy
dx
usando derivação implícita.
a) y cosx = x2 + y2
b) cos (xy) = 1 + sen y
c) tg−1 (x2y) = x+ xy2.
d) ey senx = x+ xy
5. Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
usando derivação implícita.
a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1
b) x2 − y2 + z2 − 2z = 4
c) ez = xyz
d) yz + x ln y = z2
6. O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua
altura está decrescendo em uma taxa de 6,5 cm/s. Em qual taxa o volume do cone está
variando quando o raio é 300 cm e a altura é 350 cm ?
7. O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um
determinado momento, as dimensões são l = 1m e w = h = 2m, l e w estão aumentando
em uma taxa de 2 m/s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 m/s. Nesse instante,
encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
a) O volume
b) A área da superfície
c) O comprimento da diagonal
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8. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se
descarga. A resistência R aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use a Lei
de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400Ω,
I = 0, 08A, dV/dt = −0, 01V/s e dR/dt = 0, 03Ω/s.
9. Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3 cm/s e um segundo lado está
decrescendo em uma taxa de 2 cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa
varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm de comprimento, o segundo
lado tem 30 cm de comprimento e o ângulo é π/6?.
10. Se u = f(x, y), onde x = es cos (t) e y = es sen (t), mostre que
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= e−2s
(
∂2u
∂s2
+
∂2u
∂t2
)
11. Se z = f(x, y), onde x = r cos (θ) e y = r sen (θ), (a) determine
∂z
∂θ
e
∂z
∂r
(b) mostre que
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
(
∂z
∂θ
)2
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