4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 b) ∫...

a) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5, temos que r varia de 0 a 5 e θ varia de 0 a π. Então, temos: ∫∫ D x^2 dA = ∫0^π ∫0^5 (r^2 cos^2 θ) r dr dθ = ∫0^π cos^2 θ dθ ∫0^5 r^3 dr = (5^4)/4 ∫0^π (cos^2 θ) dθ = (5^4)/4 ∫0^π (1 + cos(2θ))/2 dθ = (5^4)/4 [θ/2 + (sen(2θ))/4] de 0 a π = (5^4)/8 (π + 1) Portanto, a resposta é (5^4)/8 (π + 1). b) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 e as retas x = 0 e y = x, temos que r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a π/4. Então, temos: ∫∫ R (2x - y) dA = ∫0^(π/4) ∫0^2 [(2r cos θ - r sen θ) r] r dr dθ = ∫0^(π/4) cos θ sen θ dθ ∫0^2 (2r^3 - r^2 sen θ) dr = (2^4)/4 ∫0^(π/4) cos θ sen θ dθ - (2^4)/3 ∫0^(π/4) sen θ dθ = 2 - (2^4)/3 Portanto, a resposta é 2 - (2^4)/3. c) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3, temos que r varia de 1 a 3 e θ varia de 0 a π/2. Então, temos: ∫∫ R sen (x^2 + y^2) dA = ∫0^(π/2) ∫1^3 (r sen r^2) r dr dθ = ∫0^(π/2) sen θ dθ ∫1^3 r^2 dr = (3^3 - 1^3)/3 ∫0^(π/2) sen θ dθ = 2 (1 - cos(9)) Portanto, a resposta é 2 (1 - cos(9)). d) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região que fica entre os círculos x^2 + y^2 = a^2 e x^2 + y^2 = b^2 com 0 < a < b, temos que r varia de a a b e θ varia de 0 a 2π. Então, temos: ∫∫ R y^2 / (x^2 + y^2) dA = ∫0^(2π) ∫a^b (r^2 sen^2 θ) r dr dθ = ∫0^(2π) sen^2 θ dθ ∫a^b r^3 dr = (b^4 - a^4)/4 ∫0^(2π) sen^2 θ dθ = π (b^4 - a^4)/2 Portanto, a resposta é π (b^4 - a^4)/2. e) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como D é a região limitada pelo semicírculo x = √(4 - y^2) e o eixo y, temos que r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a π/2. Então, temos: ∫∫ D e^(-x^2-y^2) dA = ∫0^(π/2) ∫0^2 (e^(-r^2)) r dr dθ = (-1/2) ∫0^(π/2) e^(-r^2) dθ [-e^(-4) + 1] = (1/4) (1 - e^(-4)) Portanto, a resposta é (1/4) (1 - e^(-4)).