12. Considere as regiões A e B a seguir: A = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ cos(x)} e B = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, sen(x) ≤ y ≤ 1}. Qual é a área de A ∩B?

Question

12. Considere as regiões A e B a seguir: A = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ cos(x)} e B = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, sen(x) ≤ y ≤ 1}. Qual é ...

Ed · Answer

Para encontrar a área de A ∩ B, precisamos encontrar a interseção entre as regiões A e B. A interseção ocorre quando as condições de ambas as regiões são satisfeitas.

A condição para A é 0 ≤ y ≤ cos(x) e a condição para B é sen(x) ≤ y ≤ 1.

Assim, para encontrar a interseção, precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as condições.

Podemos começar encontrando os valores de x que satisfazem ambas as condições.

Para A, temos 0 ≤ x ≤ π/2.

Para B, temos sen(x) ≤ y ≤ 1.

Isso significa que sen(x) ≤ cos(x), o que é verdadeiro para 0 ≤ x ≤ π/4.

Assim, a interseção ocorre quando 0 ≤ x ≤ π/4.

Agora, precisamos encontrar os valores de y que satisfazem ambas as condições.

Para A, temos 0 ≤ y ≤ cos(x).

Para B, temos sen(x) ≤ y ≤ 1.

Isso significa que o valor mínimo de y é sen(x) e o valor máximo é cos(x).

Assim, a interseção ocorre quando sen(x) ≤ y ≤ cos(x).

Podemos integrar essa área para encontrar a área total de A ∩ B:

∫[0,π/4] ∫[sen(x),cos(x)] dy dx

= ∫[0,π/4] (cos(x) - sen(x)) dx

= [sen(x) - cos(x)]|[0,π/4]

= 1 - 1/√2

= (√2 - 1)/2

Portanto, a área de A ∩ B é (√2 - 1)/2.

Cálculo

C1 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

Respostas

Experimente
o Premium! 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

C1 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

1. Calcule ∫ (2x+ 1)3dx por dois métodos: a) expandindo o (2x+ 1)3 pelo teorema do binômio b) tomando u = 2x+ 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

2. Calcule ∫ x(x2 + 2)2dx por dois métodos: a) expandindo o (x2 + 2)2 e multiplicando o resultado por x b) tomando u = x2 + 2 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

3. Calcule ∫ (√x− 1)2√x dx por dois métodos: a) expandindo o (√x− 1)2 e multiplicando o resultado por x− 1 b) tomando u = √x− 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

4. Calcule ∫ x2√x− 1dx por dois métodos: a) tomando u = x− 1 b) tomando v = √x− 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

5. Calcule ∫ 2sen(x)cos(x)dx por três métodos: a) tomando u = sen(x) b) tomando v = cos(x) c) usando a identidade 2sen(x)cos(x) = sen(2x) d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c)

7. Efetue a antidiferenciação de todos os itens abaixo utilizando a técnica de integração por substituição. 7.1 ∫ √(1− 4y) dy 7.2 ∫ 3√(3x− 4) dx ... (continues)

8. Seja A a região abaixo da curva f(x) = 4sen(x4) e seja B a região abaixo da curva g(x) = 4cos(x4). Considerando o intervalo [0,2π], calcule a área: a) da região A b) da região B c) da região A ∩B d) da região A ∪B e) da região (A + B) e (A - B) f) da região entre as curvas f e g

9. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x(x− π), x ≥ 0. Calcule a área entre os gráficos de g(x) e f(x), 0 ≤ x ≤ π.

10. A área da região que fica entre os gráficos de g(x) = x2−πx e f(x) = cos2(x)+sen(x), 0 ≤ x ≤ π, é igual a?

11. Qual é a área entre os gráficos de f(x) = ex e de g(x) = e−x, −1 ≤ x ≤ 1?

Mais conteúdos dessa disciplina

Cálculo

C1 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

Respostas

Experimente o Premium! 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

C1 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

1. Calcule ∫ (2x+ 1)3dx por dois métodos: a) expandindo o (2x+ 1)3 pelo teorema do binômio b) tomando u = 2x+ 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

2. Calcule ∫ x(x2 + 2)2dx por dois métodos: a) expandindo o (x2 + 2)2 e multiplicando o resultado por x b) tomando u = x2 + 2 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

3. Calcule ∫ (√x− 1)2√x dx por dois métodos: a) expandindo o (√x− 1)2 e multiplicando o resultado por x− 1 b) tomando u = √x− 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

4. Calcule ∫ x2√x− 1dx por dois métodos: a) tomando u = x− 1 b) tomando v = √x− 1 c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)

5. Calcule ∫ 2sen(x)cos(x)dx por três métodos: a) tomando u = sen(x) b) tomando v = cos(x) c) usando a identidade 2sen(x)cos(x) = sen(2x) d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c)

7. Efetue a antidiferenciação de todos os itens abaixo utilizando a técnica de integração por substituição. 7.1 ∫ √(1− 4y) dy 7.2 ∫ 3√(3x− 4) dx ... (continues)

8. Seja A a região abaixo da curva f(x) = 4sen(x4) e seja B a região abaixo da curva g(x) = 4cos(x4). Considerando o intervalo [0,2π], calcule a área: a) da região A b) da região B c) da região A ∩B d) da região A ∪B e) da região (A + B) e (A - B) f) da região entre as curvas f e g

9. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x(x− π), x ≥ 0. Calcule a área entre os gráficos de g(x) e f(x), 0 ≤ x ≤ π.

10. A área da região que fica entre os gráficos de g(x) = x2−πx e f(x) = cos2(x)+sen(x), 0 ≤ x ≤ π, é igual a?

11. Qual é a área entre os gráficos de f(x) = ex e de g(x) = e−x, −1 ≤ x ≤ 1?

Mais conteúdos dessa disciplina

Experimente
o Premium! 🤩