C1 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

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Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 9 
Lista de Monitoria
1. Calcule
∫
(2x+ 1)3dx por dois métodos:
a) expandindo o (2x+ 1)3 pelo teorema do binômio
b) tomando u = 2x+ 1
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
2. Calcule
∫
x(x2 + 2)2dx por dois métodos:
a) expandindo o (x2 + 2)2 e multiplicando o resultado por x
b) tomando u = x2 + 2
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
3. Calcule
∫ (√x− 1)2√
x
dx por dois métodos:
a) expandindo o (
√
x− 1)2 e multiplicando o resultado por x− 12
b) tomando u =
√
x− 1
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
4. Calcule
∫
x2
√
x− 1dx por dois métodos:
a) tomando u = x− 1
b) tomando v =
√
x− 1
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
5. Calcule
∫
2sen(x)cos(x)dx por três métodos:
a) tomando u = sen(x)
b) tomando v = cos(x)
c) usando a identidade 2sen(x)cos(x) = sen(2x)
d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c)
6. Calcule
∫
cosec2(x)cotg(x)dx por dois métodos:
a) tomando u = cotg(x)
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2022-4 Prática de Exercícios 8
b) tomando v = cosec(x)
c) tomando cosec2(x) =
1
sen2(x)
e cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c)
7. Efetue a antidiferenciação de todos os itens abaixo utilizando a técnica de integração por
substituição.
7.1
∫ √
1− 4y dy
7.2
∫
3
√
3x− 4 dx
7.3
∫
3
√
6− 2x dx
7.4
∫ √
5r + 1 dr
7.5
∫
x
√
x2 − 9 dx
7.6
∫
3x
√
4− x2 dx
7.7
∫
x2(x3 − 1)10 dx
7.8
∫
x(2x2 − 1)6 dx
7.9
∫
5x 3
√
(9− 4x2)2 dx
7.10
∫ s√
3s2 + 1
ds
7.11
∫
(x2 − 4x+ 4) 43 dx
7.12
∫
x4
√
3x5 − 5 dx
7.13
∫
x
√
x+ 2 dx
7.14
∫ t√
t+ 3
dt
7.15
∫ 2r
(1− r)7
dr
7.16
∫
x3(2− x2)12 dx
7.17
∫
x2
√
3− 2x dx
7.18
∫
x5(x3 + 3)
1
4 dx
7.19
∫
6x2sen(x3) dx
7.20
∫
1
2
tcos(4t2) dt
7.21
∫
ycosec(3y2)cotg(3y2) dy
7.22
∫
r2sec2(r3) dr
7.23
∫
cos(x)(2 + sen(x))5 dx
7.24
∫ 4sen(x)
(1 + cos(x))2
dx
7.25
∫ √
1 +
1
3x
dx
x2
7.26
∫ √1
t
− 1 dt
t2
7.27
∫
2sen(x) 3
√
1 + cos(x) dx
7.28
∫
sen(2x)
√
2− cos(2x) dx
7.29
∫
cos2(t)sen(t) dt
7.30
∫
sen3(x)cos(x) dx
7.31
∫
(tg(2x) + cotg(2x))2 dx
7.32
∫ 1
2
cos(1
4
x)√
sen(1
4
x)
dx
7.33
∫ cos(3x)√
1− 2sen(3x)
dx
7.34
∫ sec2(3√t)√
t
dt
7.35
∫ (x2 + 2x)√
x3 + 3x2 + 1
dx
2
Cálculo I - 2022-4 Prática de Exercícios 8
7.36
∫
x(x2 + 1)
√
4− 2x2 − x4 dx
7.37
∫ x(3x2 + 1)
(3x4 + 2x2 + 1)2
dx
7.38
∫ √
3 + s(s+ 1)2 ds
7.39
∫ (y + 3)dy
(3− y) 23
7.40
∫
(2t2 + 1)
1
3 t3 dt
7.41
∫ (r 13 + 2)4
3
√
r2
dr
7.42
∫
( t
2+1
t
)
3
2 ( t
2−1
t2
) dt
7.43
∫ x3
(x2 + 4)
3
2
dx
7.44
∫ x3√
1− 2x2
dx
7.45
∫
sen(x)sen(cos(x)) dx
7.46
∫
sec(x)tg(x)cos(sec(x)) dx
8. Seja A a região abaixo da curva f(x) = 4sen(x
4
) e seja B a região abaixo da curva g(x) =
4cos(x
4
). Considerando o intervalo [0,2π], calcule a área:
a) da região A
b) da região B
c) da região A ∩B
d) da região A ∪B
e) da região (A + B) e (A - B)
f) da região entre as curvas f e g
9. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x(x− π), x ≥ 0. Calcule a área entre os gráficos de g(x) e
f(x), 0 ≤ x ≤ π.
10. A área da região que fica entre os gráficos de g(x) = x2−πx e f(x) = cos2(x)+sen(x), 0 ≤
x ≤ π, é igual a?
11. Qual é a área entre os gráficos de f(x) = ex e de g(x) = e−x, −1 ≤ x ≤ 1?
12. Considere as regiões A e B a seguir: A = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ cos(x)}
e B = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, sen(x) ≤ y ≤ 1}. Qual é a área de A ∩B?
13. Considere que as regiões a seguir têm mesma área: R1 = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}
e R2 = {{x, y} ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, λsen(x) ≤ y ≤ sen(x)}. Então λ é igual a?
14. Considere as funções f(x) = sen(x2) e g(x) = ex2 . Mostre que ambas as funções possuem
primitiva segundo o teorema fundamental do cálculo e explique por que é impossível escrever a
função primitiva de f e g.
3