Questão 2. Determine a expressão da função f(x, y) cujas derivadas parciais são ∂f/∂x = 1/y * ex/y + 3 e ∂f/∂y = -x/y^2 * ex/y + 1 e satisfaça f(3,...

Para encontrar a expressão da função f(x, y), precisamos integrar as derivadas parciais em relação a x e y, respectivamente. Começando com a primeira derivada parcial, temos: ∂f/∂x = 1/y * ex/y + 3 Integrando em relação a x, obtemos: f(x, y) = ∫(1/y * ex/y + 3) dx = x/y * ex/y + 3x + g(y) Onde g(y) é uma função de y que ainda não conhecemos. Agora, derivando f(x, y) em relação a y, temos: ∂f/∂y = -x/y^2 * ex/y + 1 Igualando a essa expressão com a segunda derivada parcial dada, temos: -x/y^2 * ex/y + 1 = ∂f/∂y = ∂/∂y (x/y * ex/y + 3x + g(y)) = x/y^2 * ex/y + g'(y) Onde g'(y) é a derivada de g(y) em relação a y. Igualando os termos que contêm ex/y, temos: -x/y^2 * ex/y = x/y^2 * ex/y Portanto, x/y^2 * ex/y se cancela em ambos os lados da equação, e temos: g'(y) + 1 = 0 Integrando em relação a y, obtemos: g(y) = -y + C Onde C é uma constante de integração. Substituindo g(y) na expressão de f(x, y), temos: f(x, y) = x/y * ex/y + 3x - y + C Para encontrar o valor de C, usamos a condição dada de que f(3, 2) = e3/2 + 12: f(3, 2) = 3/2 * e3/2 + 9 - 2 + C = e3/2 + 12 Simplificando, temos: C = 5/2 * e3/2 + 5 Portanto, a expressão da função f(x, y) é: f(x, y) = x/y * ex/y + 3x - y + 5/2 * e3/2 + 5