12. (GV – 2006 meio de ano) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações y ≥ x + 1, y ≥ 5x - 2 e 15 ≥ 5x + 3y é igual a: a) 2,5...

Para resolver esse problema, podemos começar traçando as retas que correspondem a cada uma das inequações. A inequação y ≥ x + 1 corresponde a uma reta com inclinação 1 e intercepto y = 1. A inequação y ≥ 5x - 2 corresponde a uma reta com inclinação 5 e intercepto y = -2. A inequação 15 ≥ 5x + 3y pode ser reescrita como y ≤ (-5/3)x + 5, o que corresponde a uma reta com inclinação -5/3 e intercepto y = 5. Agora, podemos encontrar os pontos de interseção entre essas retas. A interseção entre as retas y = x + 1 e y = 5x - 2 é dada por x = 1 e y = 6. A interseção entre as retas y = x + 1 e y = (-5/3)x + 5 é dada por x = 2 e y = 3. A interseção entre as retas y = 5x - 2 e y = (-5/3)x + 5 é dada por x = 1 e y = 3. Esses pontos formam um triângulo, e podemos calcular sua área usando a fórmula A = (base x altura)/2. A base do triângulo é a distância entre os pontos (1, 6) e (2, 3), que é igual a sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13). A altura do triângulo em relação a essa base é a distância entre o ponto (1, 3) e a reta y = x + 1, que é igual a (3 - 2)/sqrt(2) = 1/sqrt(2). Portanto, a área do triângulo é A = (sqrt(13) x 1/sqrt(2))/2 = sqrt(13)/2. A resposta correta é a letra E) 3.