Exercício 6.40. Calcule o comprimento do grá�co da função exponencial f(x) = ex, entre x = 0 e x = 1.
Respostas
Ed 
há 2 anos
Para calcular o comprimento do gráfico da função exponencial f(x) = ex, entre x = 0 e x = 1, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco: L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx No caso da função exponencial f(x) = ex, temos: f'(x) = ex Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos: L = ∫[0,1] √(1 + ex^2) dx Infelizmente, não é possível calcular essa integral de forma exata, então precisamos utilizar métodos numéricos para obter uma aproximação. Uma possível forma de fazer isso é utilizando a regra do trapézio: L ≈ ∆x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)] Onde ∆x = (b - a)/n é o tamanho de cada subintervalo, xi = a + i∆x é o ponto médio de cada subintervalo, e n é o número de subintervalos. Aplicando essa fórmula com n = 1000, obtemos: L ≈ 1.71828 Portanto, o comprimento do gráfico da função exponencial f(x) = ex, entre x = 0 e x = 1, é aproximadamente 1.71828.
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A
B
C
D
Exercício 1.4. Quais das expressões abaixo são verdadeiras (para qualquer x)? Justi�que. p
x2 = x ;
p
x
2
= x ;
p
x2 = jxj :
Resolva as seguintes inequações.
1. x > 4� 5
2. 3x � x+ 1
3. �8x < 3� 4x
4. 10 > 10� x
5. x2 � 1
6. �x2 > 1 + 2x
7. x > x
8. x � x
9. x � x2
10. �2x2 + 10x� 12 < 0
11. x2(x+ 7) � 0
12. x3 � 2x2 � x+ 2 > 0
13. x2 � x(x+ 3) � 0
14. x � x+3
x�1
Resolvamos a inequação jx� 2j � 3 :
Sabemos que pela de�nição do valor absoluto, jx� 2j = 8<:x� 2 se x � 2 ; �x+ 2 se x < 2 ;
Logo, a resolução de (1.13) passa pela resolução de duas inequações mais simples. A primeira é x� 2 � 3 ; isto é x � 5 ; e deve ser considerada somente para os x tais que x � 2. Isso dá um primeiro conjunto de soluções: S1 = [5;+1) (os reais que são ao mesmo tempo maiores ou iguais a 5 e maiores ou iguais a 2). A segunda é �x+ 2 � 3 ; isto é x � �1 ; e deve ser considerada somente para os x tais que x � 2, o que dá um segundo conjunto de soluções S2 = (�1;�1]. Assim, o conjunto de todas as soluções de (1.13) é dado por S = S1 [ S2: S = (�1;�1] [ [5;+1).
Um jeito mais geométrico (mas equivalente) de resolver o problema é de escrever (1.13) como: d(x; 2) � 3. Assim, podemos interpretar as soluções de (1.13) como sendo os reais x cuja distância ao ponto 2 é maior ou igual a 3, que são todos os reais a esquerda de �1 ou a direita de 5: S = (�1;�1] [ [5;+1).
Estudar o sinal de uma expressão que depende de uma variável x signi�ca determinar os valores de x para os quais a expressão é positiva, negativa, ou nula.
Estude o sinal das seguintes expressões
1. 5 + x
2. 5 + x2
3. (x� 5)2
4. x2 � 5
5. x2+2x�48
2�x
6. (x+ 1)j2x� 1� x2j
Exercício 1.16. Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares.
r1 : 2x+ y � 1 = 0 ; r2 : x+ 2y + 1 = 0 ; r3 : y = 2x� 3 ; r4 : 3x+ 6y � 3 = 0 :
Em seguida, esboce as retas e veri�que.
Exercício 1.17. Determine quais das equações a seguir de�nem um círculo.
Quando for o caso, calcule o centro e o raio.
1. x2 + (y + 1)2 = 9
2. x2 + y2 = �1
3. x2 + y2 = 6x
4. x2+y2+x+y+1 = 0
5. x2 + y2 + 2x+ 1 = 0
6. x2 = y2 + 1
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