1.89 Verifique que os pontos A (4, 6, 2) , B (1, 2, 1) , C (3, 3, 3) e D (7, 4, 3) são vértices de um paralelepípedo, calcule o volume do sólido e ...

Para verificar se os pontos A, B, C e D formam um paralelepípedo, precisamos verificar se as arestas opostas têm o mesmo comprimento e se os ângulos entre elas são retos. Podemos calcular o comprimento das arestas usando a fórmula de distância entre dois pontos: AB = sqrt((1-4)^2 + (2-6)^2 + (1-2)^2) = sqrt(26) AC = sqrt((3-4)^2 + (3-6)^2 + (3-2)^2) = sqrt(26) AD = sqrt((7-4)^2 + (4-6)^2 + (3-2)^2) = sqrt(26) BC = sqrt((3-1)^2 + (3-2)^2 + (3-1)^2) = sqrt(10) BD = sqrt((7-1)^2 + (4-2)^2 + (3-1)^2) = sqrt(54) CD = sqrt((7-3)^2 + (4-3)^2 + (3-3)^2) = 4 Podemos ver que AB = AC = AD e que BC é diferente de AB, AC e AD, então temos um paralelepípedo. Para calcular o volume do sólido, podemos usar a fórmula: V = AB * AC * AD = sqrt(26) * sqrt(26) * sqrt(26) = 26 * sqrt(26) Para encontrar as coordenadas do ponto E, podemos usar a fórmula: E = A + diagonal interna = A + sqrt(AB^2 + AC^2 + AD^2) E = (4, 6, 2) + sqrt(26)^2 + sqrt(26)^2 + sqrt(26)^2 E = (4, 6, 2) + (3sqrt(26), 3sqrt(26), 3sqrt(26)) E = (4+3sqrt(26), 6+3sqrt(26), 2+3sqrt(26)) Portanto, as coordenadas do ponto E são (4+3sqrt(26), 6+3sqrt(26), 2+3sqrt(26)) e o volume do sólido é 26 * sqrt(26).