Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta...

Para determinar a equação da reta normal à função \( f(x) = x\sqrt{9} + x^2 \) na origem, primeiro precisamos encontrar a derivada da função e, em seguida, determinar a inclinação da reta tangente. A inclinação da reta normal será o oposto do inverso da inclinação da reta tangente. Calculando a derivada da função \( f(x) = x\sqrt{9} + x^2 \), obtemos: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + x^2) = 3 + 2x \) A inclinação da reta tangente em \( x = 0 \) é dada por \( f'(0) = 3 \). Portanto, a inclinação da reta normal será \( -\frac{1}{3} \) (oposto do inverso de 3). A equação da reta normal na forma ponto-inclinação é dada por \( y = mx \), onde \( m = -\frac{1}{3} \) e passa pela origem (0,0). Assim, a equação da reta normal é \( y = -\frac{1}{3}x \). Portanto, a alternativa correta é: c) \( y = -\frac{1}{3}x \)