Para cada um dos seguintes subconjuntos de Rn , prove que se trata de um subespaço, determine a sua dimensão e indique uma base: (a) o conjunto dos...

(a) Para provar que o conjunto dos vetores com a primeira e a última coordenadas iguais é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: - Contém o vetor nulo: o vetor nulo é aquele em que todas as coordenadas são iguais a zero. Neste caso, a primeira e a última coordenadas são iguais a zero, portanto, o vetor nulo pertence ao conjunto. - É fechado sob adição: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos u e v, com a primeira e a última coordenadas iguais, então a soma u + v também terá a primeira e a última coordenadas iguais, pois a soma das coordenadas correspondentes é uma operação fechada em R. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. - É fechado sob multiplicação por escalar: se tomarmos um vetor qualquer do conjunto, digamos u, com a primeira e a última coordenadas iguais, e multiplicarmos por um escalar qualquer, digamos k, então o vetor ku também terá a primeira e a última coordenadas iguais, pois a multiplicação de cada coordenada por um escalar é uma operação fechada em R. Portanto, o produto de um vetor do conjunto por um escalar também pertence ao conjunto. A dimensão do conjunto é n-2, pois podemos escolher livremente as coordenadas da primeira e da última posição, mas as demais coordenadas devem ser iguais às da primeira ou da última posição. Uma base possível é {(1,0,0,...,0,1), (0,1,0,...,0,1), ..., (0,0,...,1,0,1)}. (b) Para provar que o conjunto dos vetores cujas coordenadas de índice par são nulas é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: - Contém o vetor nulo: o vetor nulo é aquele em que todas as coordenadas são iguais a zero. Neste caso, todas as coordenadas de índice par são nulas, portanto, o vetor nulo pertence ao conjunto. - É fechado sob adição: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos u e v, com as coordenadas de índice par nulas, então a soma u + v também terá as coordenadas de índice par nulas, pois a soma das coordenadas correspondentes é uma operação fechada em R. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. - É fechado sob multiplicação por escalar: se tomarmos um vetor qualquer do conjunto, digamos u, com as coordenadas de índice par nulas, e multiplicarmos por um escalar qualquer, digamos k, então o vetor ku também terá as coordenadas de índice par nulas, pois a multiplicação de cada coordenada por um escalar é uma operação fechada em R. Portanto, o produto de um vetor do conjunto por um escalar também pertence ao conjunto. A dimensão do conjunto é n/2, pois podemos escolher livremente as coordenadas de índice ímpar, mas as coordenadas de índice par devem ser nulas. Uma base possível é {(0,0,...,0,1,0,...,0), (0,0,...,0,0,1,...,0), ..., (0,0,...,0,0,0,...,1)}, em que o 1 aparece nas coordenadas de índice par. (c) Para provar que o conjunto dos vetores cujas coordenadas de índice par são todas iguais é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: - Contém o vetor nulo: o vetor nulo é aquele em que todas as coordenadas são iguais a zero. Neste caso, todas as coordenadas de índice par são iguais a zero, portanto, o vetor nulo pertence ao conjunto. - É fechado sob adição: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos u e v, com as coordenadas de índice par iguais, então a soma u + v também terá as coordenadas de índice par iguais, pois a soma das coordenadas correspondentes é uma operação fechada em R. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. - É fechado sob multiplicação por escalar: se tomarmos um vetor qualquer do conjunto, digamos u, com as coordenadas de índice par iguais, e multiplicarmos por um escalar qualquer, digamos k, então o vetor ku também terá as coordenadas de índice par iguais, pois a multiplicação de cada coordenada por um escalar é uma operação fechada em R. Portanto, o produto de um vetor do conjunto por um escalar também pertence ao conjunto. A dimensão do conjunto é n/2, pois podemos escolher livremente o valor das coordenadas de índice par, mas as coordenadas de índice ímpar devem ser iguais. Uma base possível é {(1,0,1,0,...,1,0), (0,1,0,1,...,0,1), ..., (0,0,...,1,0,...,1)}. (d) Para provar que o conjunto dos vetores da forma (α, β, α, β, α, β, ...) é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: - Contém o vetor nulo: o vetor nulo é aquele em que todas as coordenadas são iguais a zero. Neste caso, todas as coordenadas são iguais a zero, portanto, o vetor nulo pertence ao conjunto. - É fechado sob adição: se tomarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos u e v, da forma (α, β, α, β, α, β, ...), então a soma u + v também terá a forma (α+α, β+β, α+α, β+β, α+α, β+β, ...), que é da mesma forma que os vetores do conjunto. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. - É fechado sob multiplicação por escalar: se tomarmos um vetor qualquer do conjunto, digamos u, da forma (α, β, α, β, α, β, ...), e multiplicarmos por um escalar qualquer, digamos k, então o vetor ku também terá a forma (kα, kβ, kα, kβ, kα, kβ, ...), que é da mesma forma que os vetores do conjunto. Portanto, o produto de um vetor do conjunto por um escalar também pertence ao conjunto. A dimensão do conjunto é 2, pois podemos escolher livremente os valores de α e β. Uma base possível é {(1,0,1,0,1,0,...), (0,1,0,1,0,1,...)}.