100. Diga quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de Rn : (a) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0} ; (b) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1x2 = 0} .

Para verificar se um subconjunto é um subespaço de Rn, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: 1. O vetor nulo pertence ao subconjunto. 2. O subconjunto é fechado sob adição de vetores. 3. O subconjunto é fechado sob multiplicação por um escalar. (a) O subconjunto {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0} é um subespaço de Rn, pois: 1. O vetor nulo (0, ..., 0) pertence ao subconjunto. 2. Se (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) pertencem ao subconjunto, então (x1 + y1, ..., xn + yn) também pertence ao subconjunto, pois a soma de números não negativos é não negativa. 3. Se (x1, ..., xn) pertence ao subconjunto e c é um escalar, então (cx1, ..., cxn) também pertence ao subconjunto, pois o produto de um número não negativo por um escalar é não negativo. (b) O subconjunto {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1x2 = 0} não é um subespaço de Rn, pois: 1. O vetor nulo (0, ..., 0) não pertence ao subconjunto, já que 0 x 0 = 0. 2. Se (1, 0, ..., 0) e (0, 1, ..., 0) pertencem ao subconjunto, então (1, 1, ..., 0) não pertence ao subconjunto, pois 1 x 1 ≠ 0. 3. Se (1, 0, ..., 0) pertence ao subconjunto e c é um escalar diferente de zero, então (c, 0, ..., 0) não pertence ao subconjunto, pois c x 0 = 0. Portanto, apenas o subconjunto (a) é um subespaço de Rn.