50. Seja A uma matriz m× n. Prove que as matrizes ATA e AAT são simétricas. Dê um exemplo que mostre que estes dois produtos podem ser diferentes, ...

Para provar que as matrizes ATA e AAT são simétricas, precisamos mostrar que a transposta de cada uma delas é igual a si mesma. Começando com ATA, temos: (ATA)^T = A^T(ATA)^T = A^T(A^T)^T A^T = ATA Onde usamos o fato de que (AB)^T = B^T A^T e que A^T é uma matriz n x m. Agora, para AAT, temos: (AAT)^T = (A^T)^T A^T = AAT Onde usamos o fato de que A^T é uma matriz n x m. Para dar um exemplo de como esses dois produtos podem ser diferentes, mesmo que A seja quadrada, considere a matriz A = [1 2; 3 4]. Temos: ATA = [10 14; 14 20] AAT = [5 11; 11 25] Observe que ATA e AAT são diferentes, mesmo que A seja uma matriz quadrada.