20. Estudiar cuál es la dimensión de los subespacios vectoriales de R5 siguientes:

F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = ...

Question

20. Estudiar cuál es la dimensión de los subespacios vectoriales de R5 siguientes:

F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = 0}
F2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + x3 = 0}
F3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 + 2x2 = x2 + 2x3 = x3 + 2x4 = 0}
F4 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + 3x3 = 4x1 − x2 + 4x4 = = 2x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 0}

Ed · Answer

Para determinar a dimensão de um subespaço vetorial, precisamos encontrar uma base desse subespaço e contar o número de vetores na base. Vamos analisar cada subespaço individualmente:

F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = 0}
Podemos reescrever as equações como:
x1 - x2 + x3 = 0
2x4 - x5 = 0

Podemos escolher x2, x3, x5 como variáveis livres e expressar as outras variáveis em termos delas:
x1 = x2 - x3
x4 = (1/2)x5

Portanto, podemos escrever um vetor genérico em F1 como:
(x2 - x3, x2, x3, (1/2)x5, x5)

Podemos ver que existem 3 variáveis livres (x2, x3, x5), o que significa que a dimensão de F1 é 3.

Analisando os outros subespaços de maneira semelhante, podemos determinar suas dimensões:

F2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + x3 = 0}
Podemos reescrever a equação como:
2x1 - x2 + x3 = 0

Podemos escolher x2, x3 como variáveis livres e expressar as outras variáveis em termos delas:
x1 = (1/2)x2 - (1/2)x3

Portanto, um vetor genérico em F2 é:
((1/2)x2 - (1/2)x3, x2, x3, x4, x5)

Existem 2 variáveis livres (x2, x3), então a dimensão de F2 é 2.

F3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 + 2x2 = x2 + 2x3 = x3 + 2x4 = 0}
Podemos reescrever as equações como:
x1 + 2x2 = 0
x2 + 2x3 = 0
x3 + 2x4 = 0

Podemos escolher x2, x4 como variáveis livres e expressar as outras variáveis em termos delas:
x1 = -2x2
x3 = -x2
x5 = -2x4

Portanto, um vetor genérico em F3 é:
(-2x2, x2, -x2, -2x4, x4)

Existem 2 variáveis livres (x2, x4), então a dimensão de F3 é 2.

F4 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + 3x3 = 4x1 − x2 + 4x4 = 2x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 0}
Podemos reescrever as equações como:
2x1 - x2 + 3x3 = 0
4x1 - x2 + 4x4 = 0
2x1 - 2x2 - 3x3 + 4x4 = 0

Podemos escolher x2, x3 como variáveis livres e expressar as outras variáveis em termos delas:
x1 = (1/2)x2 - (3/2)x3
x4 = (1/4)x2 + (3/4)x3

Portanto, um vetor genérico em F4 é:
((1/2)x2 - (3/2)x3, x2, x3, (1/4)x2 + (3/4)x3, x5)

Existem 2 variáveis livres (x2, x3), então a dimensão de F4 é 2.

Portanto, a dimensão de cada subespaço é:
dim(F1) = 3
dim(F2) = 2
dim(F3) = 2
dim(F4) = 2

20. Estudiar cuál es la dimensión de los subespacios vectoriales de R5 siguientes: F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = ...

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Herramientas algenbra lineal (25)

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