48) - Resolva a inequação: tg3x − tg(x − 2π7) 1 + tg3x ∙ tg(x − 2π7) > √3 A) x ∈ ]????42+ ????????2; 5????28+ ????????2[ B) x ∈ ]????14+ ????????; 3????28+ ????????[...

Vamos lá! Para resolver a inequação, precisamos seguir os seguintes passos: 1) Encontrar os valores de x que anulam o denominador da fração; 2) Encontrar os valores de x que anulam o numerador da fração; 3) Montar a tabela de sinais da inequação; 4) Analisar os intervalos de x que satisfazem a inequação. 1) O denominador da fração é 1 + tg3x ∙ tg(x − 2π7). Para anulá-lo, precisamos ter tg3x ∙ tg(x − 2π7) = -1. Isso ocorre quando tg3x = -tg(x − 2π7). Podemos reescrever a equação como tg3x + tg(x − 2π7) = 0. Usando a identidade trigonométrica tg(a+b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a ∙ tg b), temos: tg(x − 2π7) = -tg3x tg(x − 2π7) = -tg(3x - 2π7) tg(x − 2π7) = (tg x - tg(2π7)) / (1 + tg x ∙ tg(2π7)) -tg(3x - 2π7) = (tg(2π7) - tg(3x - 4π7)) / (1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)) Igualando as duas expressões, temos: (tg x - tg(2π7)) / (1 + tg x ∙ tg(2π7)) = (tg(2π7) - tg(3x - 4π7)) / (1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)) Isolando tg x, temos: tg x = [tg(2π7) ∙ (1 - tg(3x - 4π7)) + tg(3x - 4π7) ∙ (1 + tg(2π7))] / [1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7) - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)] 2) O numerador da fração é tg3x − tg(x − 2π7). Para anulá-lo, precisamos ter tg3x = tg(x − 2π7). Usando a identidade trigonométrica tg(a-b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a ∙ tg b), temos: tg(x − 2π7) = tg3x tg(x − 2π7) = tg(3x - 2π7) tg(x − 2π7) = (tg x - tg(2π7)) / (1 + tg x ∙ tg(2π7)) tg(3x - 2π7) = (tg(2π7) + tg(3x - 4π7)) / (1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)) Igualando as duas expressões, temos: (tg x - tg(2π7)) / (1 + tg x ∙ tg(2π7)) = (tg(2π7) + tg(3x - 4π7)) / (1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)) Isolando tg x, temos: tg x = [tg(2π7) ∙ (1 - tg(3x - 4π7)) - tg(3x - 4π7) ∙ (1 + tg(2π7))] / [1 - tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7) + tg(2π7) ∙ tg(3x - 4π7)] 3) Montando a tabela de sinais: Intervalo | tg3x | tg(x-2π/7) | tg3x - tg(x-2π/7) | 1 + tg3x ∙ tg(x-2π/7) | Inequação --------------------------------------------------------------------------------------- (-∞, x1) | - | - | + | - | Não satisfaz (x1, x2) | - | + | - | + | Satisfaz (x2, x3) | + | + | + | + | Satisfaz (x3, x4) | + | - | + | - | Não satisfaz (x4, +∞) | - | - | + | - | Não satisfaz 4) Analisando os intervalos que satisfazem a inequação, temos: (x1, x2) ∪ (x3, x4) Portanto, a alternativa correta é a letra C) x ∈ ]????42+ ????????2; 3????28+ ????????2[.