Questão 1 (30 pontos) Considere a função f(x) = x+ sen(x), x ∈ [−2π, 2π]. (a) Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescent...

(a) Para determinar os intervalos onde a função f(x) é crescente ou decrescente, precisamos calcular a derivada da função e analisar seu sinal. Temos: f(x) = x + sen(x) f'(x) = 1 + cos(x) Para encontrar os intervalos onde f(x) é crescente, precisamos encontrar os valores de x onde f'(x) > 0. Assim: 1 + cos(x) > 0 cos(x) > -1 x ∈ (-∞, -π] U [0, π] Portanto, f(x) é crescente nos intervalos (-∞, -π] e [0, π]. Para encontrar os intervalos onde f(x) é decrescente, precisamos encontrar os valores de x onde f'(x) < 0. Assim: 1 + cos(x) < 0 cos(x) < -1 x ∈ (-2π, -π) U (π, 2π) Portanto, f(x) é decrescente nos intervalos (-2π, -π) e (π, 2π). (b) Para determinar os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima ou para baixo, precisamos calcular a segunda derivada da função e analisar seu sinal. Temos: f(x) = x + sen(x) f''(x) = -sin(x) Para encontrar os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima, precisamos encontrar os valores de x onde f''(x) > 0. Assim: -sin(x) > 0 x ∈ (0, π) Portanto, f(x) tem concavidade para cima no intervalo (0, π). Para encontrar os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo, precisamos encontrar os valores de x onde f''(x) < 0. Assim: -sin(x) < 0 x ∈ (-π, 0) U (π, 2π) Portanto, f(x) tem concavidade para baixo nos intervalos (-π, 0) e (π, 2π). (c) Para esboçar o gráfico de f(x), podemos começar plotando os pontos críticos e de inflexão. Temos: - Pontos críticos: x = -π, x = 0, x = π - Pontos de inflexão: x = π/2, x = 3π/2 A partir desses pontos, podemos esboçar o gráfico de f(x) como uma curva suave que cresce nos intervalos (-∞, -π] e [0, π], e decresce nos intervalos (-2π, -π) e (π, 2π). A função tem concavidade para cima no intervalo (0, π) e concavidade para baixo nos intervalos (-π, 0) e (π, 2π). O ponto crítico x = 0 é um mínimo local e os pontos críticos x = -π e x = π são máximos locais. Os pontos de inflexão x = π/2 e x = 3π/2 são pontos de mudança de concavidade.