Resolver as equações diferenciais com coeficientes variáveis abaixo: a) ???? 2????′′ − 2???? = 0 b) ???? 3????′′′ − 6???? = 0 c) ???? 3????′′′ + 5???? 2????′′ + 7????????...

a) A equação diferencial é 2y'' - 2y = 0. Podemos resolver essa equação encontrando a equação característica, que é r² - 1 = 0. As raízes são r = 1 e r = -1. Portanto, a solução geral é y = c1e^x + c2e^-x, onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. b) A equação diferencial é 3y''' - 6y = 0. Podemos resolver essa equação encontrando a equação característica, que é r³ - 2 = 0. As raízes são r = 2^(1/3), -2^(1/3)/2 + (3^(1/2)/2)i e -2^(1/3)/2 - (3^(1/2)/2)i. Portanto, a solução geral é y = c1e^(2^(1/3)x) + c2e^(-2^(1/3)x/2)cos((3^(1/2)/2)x) + c3e^(-2^(1/3)x/2)sin((3^(1/2)/2)x), onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias. c) A equação diferencial é 3y''' + 5y'' + 7y' + 8y = 0. Não há uma fórmula geral para resolver essa equação, mas podemos tentar encontrar uma solução particular. Suponha que y = e^(mx) seja uma solução. Substituindo na equação, obtemos a equação característica m³ + 5m² + 7m + 8 = 0. Infelizmente, essa equação não tem raízes inteiras ou racionais, então não podemos encontrar uma solução particular simplesmente encontrando as raízes da equação característica. d) A equação diferencial é 2y'' - y' + ay = b(x). Para encontrar uma solução particular, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que y = Ax + B seja uma solução particular. Substituindo na equação, obtemos A = b(x)/(2a) e B = -b(x)/(4a²). Portanto, a solução geral é y = c1e^(r1x) + c2e^(r2x) + (x/2a)b(x), onde r1 e r2 são as raízes da equação característica 2r² - r + a = 0 e c1 e c2 são constantes arbitrárias.