. Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D são: • ???? ⃗ = ???? ̂ + ???? ̂ + ???? / • ???? = 2 ???? ̂ + 3 ???? • ???? ⃗ = 3 ???? ̂ + 5 ???? ̂ − 2 ????...

1. Para demonstrar que as linhas são paralelas, precisamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Os vetores diretores são: • ???? = 2 ???? ̂ + 3 ???? • ???? = 3 ???? ̂ + 5 ???? ̂ − 2 ???? Para verificar se são múltiplos, podemos calcular a razão entre as componentes correspondentes de cada vetor. Se a razão for a mesma para todas as componentes, os vetores são múltiplos e, portanto, as linhas são paralelas. Assim: 2/3 = 3/5 = -2/? Resolvendo para ?, temos: ? = 10/3 Portanto, as linhas são paralelas e a razão entre seus comprimentos é 10/3. 2. Para demonstrar que os vetores são perpendiculares, precisamos verificar se o produto escalar entre eles é zero. Assim: ???? ⃗ ⋅ ???? = (1 ???? ̂ + 4 ???? ̂ + 3 ????) ⋅ (4 ???? ̂ + 2 ???? ̂ − 4 ????) = 1*4 + 4*2 + 3*(-4) = 0 Portanto, os vetores são perpendiculares. 3. Para demonstrar que os vetores formam os lados de um triângulo reto, precisamos verificar se o quadrado da norma do vetor resultante é igual à soma dos quadrados das normas dos vetores originais. Assim: (2 ???? ̂ − ???? ̂ + ????)² + (? ̂ − 3 ???? ̂ − 5 ????)² + (3 ???? ̂ − 4 ???? ̂ − 4 ????)² = (4 + 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 9 + 16 + 16) = 85 A norma do vetor resultante é: ???? ⃗ = ???? + ???? + ???? = (2+1+3) ???? ̂ + (-1-3-4) ???? ̂ + (1-5-4) ???? = 6 ???? ̂ - 8 ???? ̂ - 8 ???? A norma do vetor resultante ao quadrado é: ???? ⃗ ² = (6 ???? ̂ - 8 ???? ̂ - 8 ????)² = (36 + 64 + 64) = 164 Portanto, como 164 é igual a 85 + 25 + 54, os vetores formam os lados de um triângulo reto.