. Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D são: • ???? ⃗ = ???? ̂ + ???? ̂ + ???? / • ???? = 2 ???? ̂ + 3 ???? • ???? ⃗ = 3 ???? ̂ + 5 ???? ̂ − 2 ????...

Para demonstrar que as linhas são paralelas, precisamos verificar se seus vetores diretores são múltiplos um do outro. O vetor diretor da reta r é o vetor ???? e o vetor diretor da reta s é o vetor ????. Calculando o produto vetorial entre os vetores diretores, temos: ???? × ???? = (2 ???? ̂ + 3 ???? ) × (3 ???? ̂ + 5 ???? ̂ − 2 ???? ) = 6 (???? ̂ × ???? ̂) + 10 (???? ̂ × ???? ) − 4 (???? ̂ × ???? ) + 9 (???? × ???? ̂) + 15 (???? × ???? ) − 6 (???? × ???? ) = 6 (0) + 10 (0) − 4 (???? ̂ × ???? ) + 9 (0) + 15 (0) − 6 (???? ̂ × ???? ) = −4 (???? ̂ × ???? ) − 6 (???? ̂ × ???? ) O resultado do produto vetorial é um vetor perpendicular às duas retas. Se esse vetor for nulo, as retas são paralelas. Assim, para que as retas sejam paralelas, o resultado do produto vetorial deve ser nulo: −4 (???? ̂ × ???? ) − 6 (???? ̂ × ???? ) = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: −4 (???? ̂ × ???? ) − 6 (???? ̂ × ???? ) = 0 −10 (???? ̂ × ???? ) = 0 ???? ̂ × ???? = 0 Isso significa que os vetores ???? e ???? são paralelos, e portanto as retas r e s são paralelas. Para encontrar a razão entre os comprimentos das retas, podemos calcular a norma dos vetores diretores e dividir um pelo outro: ||????|| = ||2 ???? ̂ + 3 ???? || = √(2² + 3²) = √13 ||????|| = ||3 ???? ̂ + 5 ???? ̂ − 2 ???? || = √(3² + 5² + (−2)²) = √38 Assim, a razão entre os comprimentos das retas é: ||????|| / ||????|| = √13 / √38 Portanto, a razão entre os comprimentos das retas é √13 / √38.