Determine o valor da integral Jfs (x +2y)dx dy, sendo S a area definida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3

Para resolver essa integral, podemos utilizar o método de coordenadas polares. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em termos de r e θ: x + y - 4 = 0 -> y = 4 - x x = y -> x = y = r cos(θ) Substituindo y em x = y, temos: r cos(θ) = 4 - r cos(θ) r cos(θ) = 2 Assim, o limite inferior de r é 0 e o limite superior é 2/cos(θ). Já o limite inferior de θ é π/4 e o limite superior é π/2. Agora, podemos calcular a integral: Jfs (x +2y)dx dy = ∫∫S (r cos(θ) + 2r sin(θ)) r dr dθ = ∫π/4π/2 ∫0^(2/cos(θ)) (r^2 cos(θ) + 2r^2 sin(θ)) dr dθ = ∫π/4π/2 [(2^3 cos^2(θ) sin(θ))/3 + (2^3 sin^3(θ))/3] dθ = (8/3) ∫π/4π/2 (cos^2(θ) sin(θ) + sin^3(θ)) dθ = (8/3) [(1/3) cos^3(θ) - (1/4) cos^4(θ) - (1/4) cos^2(θ) + (1/3) sin^3(θ)] |_π/4^π/2 = (8/3) [(1/3) - (1/4) - (1/4) + (1/3) - (1/3√2)] = (8/9) (2 - √2) Portanto, o valor da integral é (8/9) (2 - √2).