Seja f : R → R contínua. Se lim x→+∞ f(x) = lim x→−∞ f(x) = +∞, prove que existe x0 ∈ R no qual f assume seu valor mínimo.

Para provar que existe um ponto x0 em R onde f assume seu valor mínimo, podemos usar o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass. Como f é contínua em R e tende ao infinito tanto em x → +∞ quanto em x → -∞, podemos afirmar que f é limitada inferiormente, ou seja, existe um número real M tal que f(x) ≥ M para todo x em R. Agora, vamos considerar a sequência (xn) = (n), ou seja, a sequência dos números naturais. Como f tende ao infinito quando x tende ao infinito, podemos afirmar que existe um número natural N1 tal que f(xn) > M para todo n ≥ N1. Analogamente, como f tende ao infinito quando x tende ao negativo infinito, podemos afirmar que existe um número natural N2 tal que f(-xn) > M para todo n ≥ N2. Assim, temos que f é limitada inferiormente por M e que existem duas sequências (xn) e (-xn) tais que f(xn) > M e f(-xn) > M para todo n suficientemente grande. Como ambas as sequências são limitadas, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, podemos afirmar que existem subsequências (xnk) e (-xnk) que convergem para algum ponto x0 em R. Como f é contínua em R, temos que f(xnk) e f(-xnk) convergem para f(x0) quando n tende ao infinito. Além disso, como f(xnk) > M e f(-xnk) > M para todo n, temos que f(x0) ≥ M. Portanto, f assume seu valor mínimo em x0, que é o ponto de convergência das sequências (xnk) e (-xnk).