Dadas as funções: f(x) = (x ^ 2 - x + 6)/(x - 2) g(x) = (sqrt(9 + x) - 3)/x h(x) = (4 - sqrt(x))/(16x - x ^ 2) Analise as afirmativas seguintes. ...

A alternativa correta é a letra C, "I e II apenas". Para analisar as afirmativas, podemos utilizar as propriedades dos limites: I. lim x -> 2 ((x ^ 2 - x + 6)/(x - 2)) = 1 Podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma função que assume a forma 0/0 ou ∞/∞. Derivando o numerador e o denominador da função, temos: lim x -> 2 ((x ^ 2 - x + 6)/(x - 2)) = lim x -> 2 ((2x - 1)/(1)) = 3 Portanto, a afirmativa I está incorreta. II. lim x -> 0 ((sqrt(9 + x) - 3)/x) = 1/6 Podemos multiplicar o numerador e o denominador da função por sua conjugada para eliminar a raiz no numerador: lim x -> 0 ((sqrt(9 + x) - 3)/x) = lim x -> 0 ((sqrt(9 + x) - 3)/(x) * (sqrt(9 + x) + 3)/(sqrt(9 + x) + 3))) = lim x -> 0 ((9 + x - 9)/(x * (sqrt(9 + x) + 3))) = lim x -> 0 (1/(sqrt(9 + x) + 3)) = 1/6 Portanto, a afirmativa II está correta. III. lim x -> 16 ((4 - sqrt(x))/(16x - x ^ 2)) = 1/128 Podemos fatorar o denominador da função: lim x -> 16 ((4 - sqrt(x))/(16x - x ^ 2)) = lim x -> 16 ((4 - sqrt(x))/(x(16 - x))) = lim x -> 16 ((4 - sqrt(x))/(x(-x + 16))) = lim x -> 16 (-1/(x + sqrt(x) - 16)) = -1/0 O limite não existe, pois o denominador se aproxima de zero tanto pela direita quanto pela esquerda. Portanto, a afirmativa III está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra C, "I e II apenas".