Encontre o comprimento de arco da curva y = x 2/3 do ponto (1,1) a (8,4).:

Para encontrar o comprimento de arco da curva y = x^(2/3) do ponto (1,1) a (8,4), podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco: L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)²) dx Primeiro, precisamos encontrar dy/dx: y = x^(2/3) dy/dx = (2/3)x^(-1/3) Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco: L = ∫[1,8] √(1 + (2/3x^(-1/3))²) dx L = ∫[1,8] √(1 + 4/9x^(-2/3)) dx L = ∫[1,8] √((9x^(2/3) + 4)/9x^(2/3)) dx L = ∫[1,8] √(9x^(2/3) + 4)/3x^(1/3) dx Fazendo a substituição u = 9x^(2/3) + 4, temos: du/dx = 6x^(-1/3) dx = (u - 4)/6x^(-1/3) du Substituindo na integral, temos: L = ∫[13,76] √u/3(u-4) du L = (2/3) ∫[13,76] (u^(-1/2) - (u-4)^(-1/2)) du L = (2/3) (2(u^(1/2) - (u-4)^(1/2)))|[13,76] L = (4/3) ((76)^(1/2) - (9)^(1/2) - 2((13)^(1/2) - (9)^(1/2))) L ≈ 17,28 Portanto, o comprimento de arco da curva y = x^(2/3) do ponto (1,1) a (8,4) é aproximadamente 17,28 unidades de comprimento.