Para determinar a raiz da equação \(4x^3 - 6x^2 + 3x - 2 = 0\) no intervalo \([1, 2]\), devemos usar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema afirma que se uma função \(f\) é contínua em um intervalo fechado \([a, b]\) e \(N\) é um número entre \(f(a)\) e \(f(b)\), então existe pelo menos um número \(c\) em \((a, b)\) tal que \(f(c) = N\). Primeiro, vamos calcular \(f(1)\) e \(f(2)\): - \(f(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 + 3(1) - 2 = 4 - 6 + 3 - 2 = -1\) - \(f(2) = 4(2)^3 - 6(2)^2 + 3(2) - 2 = 32 - 24 + 6 - 2 = 12\) Como \(f(1) = -1\) e \(f(2) = 12\), temos que \(f(1) < 0\) e \(f(2) > 0\). Portanto, existe pelo menos uma raiz \(c\) no intervalo \((1, 2)\). Agora, analisando as alternativas: 1. O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação tem pelo menos uma raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\). (Incorreto, pois é o Teorema do Valor Intermediário) 2. O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\). (Incorreto, pois não se aplica o Teorema de Rolle) 3. O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\). (Incorreto) 4. O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\). (Correto) 5. O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\). (Incorreto) Portanto, a alternativa correta é: O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz \(c\) no intervalo \((1,2)\).