Sabendo que \(\vec{F}(u)=\left\langle u^3+2 u, 6, \sqrt{u}\right\rangle \mathrm{m} (\mathrm{u})=\sqrt{u}\), assinale a alternativa que apresenta a ...

Para encontrar a derivada da função \(\vec{G}(u)=32 \vec{F}(m(u))\) no ponto \(u=4\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar \(\vec{F}(m(u))\): Substituindo \(m(u)=\sqrt{u}\) em \(\vec{F}(u)=\left\langle u^3+2 u, 6, \sqrt{u}\right\rangle\), temos: \[\vec{F}(m(u))=\vec{F}(\sqrt{u})=\left\langle (\sqrt{u})^3+2\sqrt{u}, 6, \sqrt{\sqrt{u}}\right\rangle=\left\langle u\sqrt{u}+2\sqrt{u}, 6, u^{1/4}\right\rangle\] 2. Encontrar \(\vec{G}(u)\): Multiplicando \(\vec{F}(m(u))\) por \(32\), temos: \[\vec{G}(u)=32\vec{F}(m(u))=32\left\langle u\sqrt{u}+2\sqrt{u}, 6, u^{1/4}\right\rangle=\left\langle 32u\sqrt{u}+64\sqrt{u}, 192, 32u^{1/4}\right\rangle\] 3. Encontrar a derivada de \(\vec{G}(u)\) no ponto \(u=4\): Substituindo \(u=4\) em \(\vec{G}(u)\), temos: \[\vec{G}(4)=\left\langle 32\cdot4\sqrt{4}+64\sqrt{4}, 192, 32\cdot4^{1/4}\right\rangle=\left\langle 256+128, 192, 16\right\rangle=\left\langle 384, 192, 16\right\rangle\] Agora, podemos concluir que a alternativa correta é a letra C) < 200, 6, 1 >.