Para encontrar as raízes da equação indicial para a equação diferencial dada, é necessário analisar os coeficientes da equação. A equação indicial é obtida ao substituir y = x^r na equação diferencial dada. Analisando a equação diferencial 2x^2y'' - xy' + 2y = 0, podemos ver que o termo de maior ordem é 2x^2y'', o que indica que a equação indicial será uma equação quadrática. Substituindo y = x^r na equação diferencial, obtemos a equação indicial: 2x^2(r)(r-1)x^(r-2) - x(r)x^(r-1) + 2x^r = 0 2r(r-1)x^r - rx^r + 2x^r = 0 2r^2 - 2r - r + 2 = 0 2r^2 - 3r + 2 = 0 Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara: r = [3 ± sqrt((-3)^2 - 4*2*2)] / 4 r = [3 ± sqrt(9 - 16)] / 4 r = [3 ± sqrt(-7)] / 4 r = [3 ± i*sqrt(7)] / 4 Portanto, as raízes da equação indicial são r1 = (3 + i*sqrt(7)) / 4 e r2 = (3 - i*sqrt(7)) / 4. A opção que corresponde a essas raízes é: c. r1=1+i; r2=1−i.

Vamos resolver a equação indicial para a equação diferencial 2x^2y′′−xy′+2y=0. A equação indicial é dada por r(r-1) + p_0 * r + q_0 = 0, onde p_0 e q_0 são constantes. Neste caso, a equação é 2r(r-1) + 0 * r + 2 = 0, que simplifica para 2r^2 - 2 + 2 = 0, ou seja, 2r^2 = 0. Portanto, as raízes da equação indicial são r1 = 0 e r2 = 1. Assim, a alternativa correta é: a. r1=0; r2=1