A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação diferencial exata (2xy - e2x)d...

Para resolver a equação diferencial exata (2xy - e2x)dx + (x2 + y) dy = 0, precisamos verificar se ela é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de (2xy - e2x) em relação a y e de (x2 + y) em relação a x, e verificamos se elas são iguais. Assim, temos: ∂/∂y (2xy - e2x) = 2x ∂/∂x (x2 + y) = 2x Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Agora, precisamos encontrar uma função ϕ(x,y) tal que ∂ϕ/∂x = 2xy - e2x e ∂ϕ/∂y = x2 + y. Integrando a primeira equação em relação a x, temos: ϕ(x,y) = x2y - e2x + g(y) onde g(y) é uma constante de integração que depende apenas de y. Derivando ϕ em relação a y e igualando a x2 + y, temos: ∂ϕ/∂y = x2 + y 2xy + g'(y) = x2 + y g'(y) = x2 - 2xy + y g'(y) = (x - y)2 Integrando em relação a y, temos: g(y) = (x - y)3/3 + C onde C é uma constante de integração. Assim, a solução geral da equação diferencial é dada por: x2y - e2x + (x - y)3/3 + C = 0 Para encontrar o valor de C, usamos o fato de que y(0) = -2. Substituindo x = 0 e y = -2 na equação acima, temos: 0 - e0 + (0 - (-2))3/3 + C = 0 C = 2/3 Portanto, a solução da equação diferencial é: x2y - e2x + (x - y)3/3 + 2/3 = 0 Para encontrar y(1), substituímos x = 1 na equação acima e resolvemos para y: 12y - e2 + (1 - y)3/3 + 2/3 = 0 12y - e2 + (1 - y)3 + 2 = 0 12y - e2 + 1 - 3y + 3y2 - y3 + 2 = 0 y3 - 3y2 + 9y/4 - (e2 - 3/4) = 0 Podemos resolver essa equação usando métodos numéricos ou aproximando a solução. A alternativa mais próxima é a letra D) 1,8.