a solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variaveis. resolvendo a equação homogênea (2y²-3xy)dx+3x²dy=0,...

Para resolver a equação homogênea (2y²-3xy)dx+3x²dy=0, podemos utilizar o método de separação de variáveis. Começamos dividindo ambos os lados da equação por x²y², obtendo: (2/y² - 3x/y)dx + 3/x² dy = 0 Agora, separamos as variáveis, colocando todos os termos com x no lado direito e todos os termos com y no lado esquerdo: 2/y² dy = 3x/y dx Integrando ambos os lados, temos: ∫2/y² dy = ∫3x/y dx -2/y = 3/2 x² + C onde C é a constante de integração. Para encontrar o valor de C, utilizamos o fato de que o ponto y(1) = 1/2 pertence à solução da equação. Substituindo x = 1 e y = 1/2 na equação acima, temos: -2/(1/2) = 3/2 + C C = -5 Portanto, a solução da equação homogênea é dada por: -2/y = 3/2 x² - 5 y = -2/(3/2 x² - 5) Para encontrar o valor aproximado de y(3), basta substituir x = 3 na equação acima: y(3) = -2/(3/2 * 3² - 5) = -2/11 Portanto, o valor aproximado de y(3) é -0,1818.