determine quais o intervalos no qual podemos garantir que a equaçao diferencial y+ 4xy + 4 y=cos x tenha solução unica para um problema de valor i...

Para determinar o intervalo em que a equação diferencial y + 4xy + 4y = cos(x) tem solução única para um problema de valor inicial, podemos usar o teorema de existência e unicidade de soluções de problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão y' + p(x)y = q(x), onde p(x) = 4x + 4 e q(x) = cos(x). Em seguida, calculamos a derivada de p(x) em relação a x, obtendo dp/dx = 4. Agora, escolhemos um intervalo [a, b] que contenha o ponto inicial (x0, y0) do problema de valor inicial. Seja M = max{|p(x)| : x pertence a [a, b]} e h = min{a - x0, b - x0, A/M}, onde A é uma constante positiva que depende de y0 e q(x). Se h for positivo, então a equação diferencial tem solução única no intervalo [x0 - h, x0 + h] e, portanto, no intervalo [a, b] que contém o ponto inicial. Assim, para a equação diferencial y + 4xy + 4y = cos(x), podemos escolher o intervalo [a, b] de forma que contenha o ponto inicial e calcular M e h como descrito acima. Se h for positivo, então a equação tem solução única no intervalo [a, b].