Questão resolvida - Dada a equação diferencial dy_dx=-x_ye^x², encontre a solução para o problema de valor inicial (PVI) y(0)=1 - Equação diferencial - Problema de valor inicial (PVI) - cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a equação diferencial , encontre a solução para o problema de = -
dy
dx
x
yex²
valor inicial (PVI) .y 0 = 1( )
 
Resolução:
 
É preciso fazer a sepação de variáveis, com os termos com y e dy no primeiro membro e os 
termos com x e dx no segundo, com visto posteriormente;
 
= - ydy = - ydy = -xe dx
dy
dx
x
yex²
→
xdx
ex²
→
-x²
 
Para encontrar a solução vamos integrar os 2 membros da igualdade:
 
ydy = - xe dx∫ ∫ -x²
 
Resolvendo as integrais separadamente;
1 ydy = + c)∫ y
2
2
1
 
2 - xe dx = e -xdx u = -x² du = -2xdx = - xdx)∫ -x² ∫ -x²( ) → → → du
2
Substituindo e resolvendo; e -xdx = e = + c = + c∫ -x²( ) ∫ u du
2
e
2
u
2
e
2
-x²
2
Voltando para a EDO;
 
ydy = - xe dx + c = + c - = c - c = c - c∫ ∫ -x² → y
2
2
1
e
2
-x²
2 →
y
2
2 e
2
-x²
2 1 →
y - e
2
2 -x²
2 1
 
y - e = 2 c - c→ 2 -x² ( 2 1)
 
 
Fazendo : 2 c - c = c, fica;( 1 2)
 
y - e = c2 -x²
 
 
 
Pelo PVI, y 0 = 1, temos que quando x = 0; y = 1, substituindo na relação anterior;( )
 
1 - e = c 1 - e = c 1 - 1 = c 0 = c c = 0( )2 - 0 ²( ) → 0 → → →
 
Substituindo na solução geral :
 
y - e = 0 y = e2 -x² → 2 -x²
 
y = y = e y = ee-x² → -x²
1
2
→
-x²
2
 
 
(Resposta )