Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial tenha solução única para um problema de valor inicial. y ′′ + 4x 2...

Para determinar os intervalos em que a equação diferencial y'' + 4x^2y' + 4y = cos(x) tem solução única para um problema de valor inicial, podemos usar o teorema de existência e unicidade de soluções de problemas de valor inicial para equações diferenciais de segunda ordem. De acordo com o teorema, se a equação diferencial é da forma y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x), onde p(x), q(x) e g(x) são funções contínuas em um intervalo aberto contendo x0, então existe um único intervalo aberto contendo x0 em que a solução do problema de valor inicial y(x0) = y0 e y'(x0) = y1 existe e é única. No caso da equação diferencial dada, temos p(x) = 4x^2 e q(x) = 4, que são funções contínuas em toda parte. A função g(x) = cos(x) também é contínua em toda parte. Portanto, podemos garantir que a equação diferencial tem solução única para um problema de valor inicial em qualquer intervalo aberto contendo qualquer ponto x0. Em resumo, a equação diferencial dada tem solução única para um problema de valor inicial em qualquer intervalo aberto contendo qualquer ponto x0.