A equação da reta tangente em begin mathsize 12px style P end style é begin mathsize 12px style y minus f open parentheses x subscript 0 close pare...

afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas: I. O valor de begin mathsize 12px style x subscript 1 end style obtido pelo método de Newton Raphson é 1. II. O valor de begin mathsize 12px style x subscript 2 end style obtido pelo método de Newton Raphson é 0,146. III. O método de Newton Raphson converge para a raiz da função begin mathsize 12px style f end style para qualquer valor inicial begin mathsize 12px style x subscript 0 end style. Resposta: I. Verdadeira. II. Verdadeira. III. Falsa. Explicação: O método de Newton Raphson é um método iterativo para encontrar raízes de funções. Ele consiste em aproximar a função por uma reta tangente em um ponto inicial e encontrar a interseção dessa reta com o eixo x, que será a próxima aproximação da raiz. O processo é repetido até que se atinja uma precisão desejada. No caso apresentado, a função transcendente begin mathsize 12px style f end style é dada por begin mathsize 12px style f left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses x plus 1 close parentheses e to the power of x end style. A equação da reta tangente em begin mathsize 12px style P end style é dada por begin mathsize 12px style y minus f open parentheses x subscript 0 close parentheses equals f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses open parentheses x minus x subscript 0 close parentheses end style. Substituindo begin mathsize 12px style y equals 0 end style e begin mathsize 12px style x equals x subscript 1 end style, obtemos begin mathsize 12px style x subscript 1 equals x subscript 0 minus fraction numerator f open parentheses x subscript 0 close parentheses over denominator f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses end fraction end style. Esse processo é repetido para obtenção de begin mathsize 12px style x subscript 2 end style a partir de begin mathsize 12px style x subscript 1 end style, e begin mathsize 12px style x subscript 3 end style a partir de begin mathsize 12px style x subscript 2 end style, e assim por diante. Aplicando o método de Newton Raphson com begin mathsize 12px style x subscript 0 equals 0 end style, temos: begin mathsize 12px style x subscript 1 equals x subscript 0 - frac{f(x subscript 0)}{f'(x subscript 0)} = 0 - frac{f(0)}{f'(0)} = -1 end style begin mathsize 12px style x subscript 2 equals x subscript 1 - frac{f(x subscript 1)}{f'(x subscript 1)} = -1 - frac{f(-1)}{f'(-1)} = 0,146 end style Portanto, as afirmações I e II são verdadeiras. Já a afirmação III é falsa, pois o método de Newton Raphson pode não convergir para a raiz da função se o ponto inicial estiver muito longe da raiz ou se a função tiver uma curvatura muito acentuada na região da raiz.