Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R = 200, C = 2 x 10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que ...

Para determinar a carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC, podemos utilizar a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito: Q''(t) + (R/L)Q'(t) + (1/LC)Q(t) = v''(t) Onde Q(t) é a carga do capacitor, R é a resistência, L é a indutância, C é a capacitância, v(t) é a tensão aplicada e ' representa a derivada em relação ao tempo. Substituindo os valores fornecidos na equação, temos: Q''(t) + (200/1)Q'(t) + (1/(2x10^-3))Q(t) = (12x10cos(10t)) A solução geral da equação diferencial é dada por: Q(t) = Qc + Qr Onde Qc é a solução da equação homogênea e Qr é uma solução particular da equação não homogênea. A solução da equação homogênea é dada por: Qc(t) = Ae^(-100t) + Be^(-0,005t) Onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Supondo uma solução particular na forma Qr(t) = Kcos(10t) + Lsen(10t), temos: Qr''(t) + (200/1)Qr'(t) + (1/(2x10^-3))Qr(t) = (12x10cos(10t)) Substituindo Qr(t) e suas derivadas na equação, temos: (-100K - 10L)cos(10t) + (-10K + 100L)sen(10t) + (200L - (1/(2x10^-3))K)cos(10t) + (-(1/(2x10^-3))L - 200K)sen(10t) = (12x10cos(10t)) Igualando os coeficientes de cos(10t) e sen(10t) em ambos os lados da equação, temos: -100K - 10L + 200L = 120 -10K + 100L - (1/(2x10^-3))K = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: K = -0,0006 C L = 0,06 C Portanto, a solução particular da equação não homogênea é: Qr(t) = -0,0006cos(10t) + 0,06sen(10t) A solução geral da equação diferencial é, portanto: Q(t) = Ae^(-100t) + Be^(-0,005t) - 0,0006cos(10t) + 0,06sen(10t) Utilizando as condições iniciais Q(0) = 0 e Q'(0) = 0, podemos determinar as constantes A e B: Q(0) = Ae^(0) + Be^(0) - 0,0006cos(0) + 0,06sen(0) = A + B = 0 Q'(0) = -100A - 0,005B + 0,006sen(0) + 6cos(0) = -100A - 0,005B + 6 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: A = -0,03 C B = 0,03 C Portanto, a carga do capacitor Q(t) é dada por: Q(t) = -0,03e^(-100t) + 0,03e^(-0,005t) - 0,0006cos(10t) + 0,06sen(10t)