Determine o valor de k real sabendo que os vetores u(2, -2, 0), (k, 0,2) e w(2, 2,-1) são coplanares.

Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto entre eles deve ser igual a zero. Assim, temos: u . (k, 0, 2) x w + w . u x (k, 0, 2) + (k, 0, 2) . w x u = 0 Substituindo os valores dos vetores, temos: (2, -2, 0) . (k, 0, 2) x (2, 2, -1) + (2, 2, -1) . (2, -2, 0) x (k, 0, 2) + (k, 0, 2) . (2, 2, -1) x (2, -2, 0) = 0 Calculando os produtos vetoriais, temos: (2, -2, 0) . (-4k, 4, 4) + (2, 2, -1) . (4, -4k, 4) + (k, 0, 2) . (4, 4, 4k) = 0 Simplificando, temos: -8k + 8 + 8k - 8k + 8 + 8k = 0 Resolvendo a equação, temos: 8 = 0 Como a equação não tem solução, não é possível determinar um valor real para k que satisfaça a condição de coplanaridade dos vetores.