A equação geral da reta que passa por P(3,1), intersecta a reta r:3x-y=0 no ponto A e a reta s:x+5y=0 no ponto B, onde P é o ponto médio do segment...

Primeiramente, vamos encontrar as coordenadas dos pontos A e B. Para encontrar o ponto A, podemos substituir a equação da reta r em x e y da equação geral da reta que passa por P e igualar as duas expressões, pois o ponto A pertence às duas retas. Temos: 3x - y = 0 --> y = 3x Equação geral da reta que passa por P(3,1): y - 1 = m(x - 3) Substituindo y por 3x, temos: 3x - 1 = m(x - 3) 3x - mx = -2m + 1 x(3 - m) = -2m + 1 x = (-2m + 1)/(3 - m) Substituindo x na equação da reta r, temos: 3*(-2m + 1)/(3 - m) - y = 0 y = 9m/(m - 3) Portanto, o ponto A tem coordenadas (-2m + 1)/(3 - m) e 9m/(m - 3). Para encontrar o ponto B, podemos seguir o mesmo raciocínio, substituindo a equação da reta s em x e y da equação geral da reta que passa por P e igualando as duas expressões. Temos: x + 5y = 0 --> x = -5y Equação geral da reta que passa por P(3,1): y - 1 = m(x - 3) Substituindo x por -5y, temos: y - 1 = -5m(y - 3) y - 1 = -5my + 15m 5my = -15m + y + 1 y(5m - 1) = -15m + 1 y = (15m - 1)/(1 - 5m) Substituindo y na equação da reta s, temos: (-5)*(15m - 1)/(1 - 5m) + 5m/(1 - 5m) = 0 -75m + 5 + 5m = 0 m = 1/14 Portanto, o ponto B tem coordenadas -75/69 e 15/23. Agora que temos as coordenadas dos pontos A e B, podemos encontrar a equação geral da reta que passa por P e é perpendicular ao segmento AB, pois o ponto P é o ponto médio do segmento AB. A inclinação da reta que passa por P e é perpendicular ao segmento AB é o oposto do inverso da inclinação do segmento AB. Temos: Inclinação do segmento AB: mAB = (15/23 - 9/(3 - 1))/(-75/69 - (-2*1 + 1)/(3 - (-2*5))) mAB = -23/5 Inclinação da reta perpendicular: mP = 5/23 Agora, podemos encontrar a equação geral da reta que passa por P e tem inclinação mP. Temos: y - 1 = (5/23)(x - 3) 23y - 23 = 5x - 15 5x - 23y + 8 = 0 Portanto, a equação geral da reta que passa por P(3,1), intersecta a reta r:3x-y=0 no ponto A e a reta s:x+5y=0 no ponto B, onde P é o ponto médio do segmento AB, é 5x - 23y + 8 = 0.