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8 , logo as retas são paralelas. b) Como a função g é contínua em todo o seu domínio (por ser o quociente de duas funções contínuas), as únicas retas que poderão, eventualmente, ser assíntotas verticais do gráfico de g são as retas de equações: x = O, x = 7C e x = 2 K 9. Vejamos: • lim g(x) = lim _( x ) = lim _ x_= 1 x - o + x _,. o+ f x x .... o + senx pelo que a reta de equação x = O não é assíntota vertical do gráfico de g • lim g(x) = lim _(x_= lim . - x- = 2� =-oo x - zn- x - 2 7t- f(x) x - 2 n . . senx O pelo que a reta de equação x = ZK é assintota vertical do gráfico de g • lim g( x) = lim _( x ) = lim _ x_ = _'l[_ = +oo X -· IT- x - TC f X X -> 1r- SellX Q+ lim g( x) = lim _x_ = lim _x_ =_ir_= -oo x - JI+ x _,_ n+ f(x) x - IT+ senx o- pelo que a reta de equação x = 7C é assintota verticaldo gráfico de g O gráfico de g não admite assíntotas não verticais, pois o domínio de g é um conjunto l imitado. a) A função g é contínua em todo o seu domínio, por ser o quociente de duas funções contínuas. Portanto, só a reta de equação x = O poderá, eventualmente, ser assintota vertical do gráfico de g. Tem-se que lim g( x) = lim senx = 1 x - 0 x - 0 X Portanto, o gráfico da função g não tem assíntotas verticais. b) As abcissas pedidas são as soluções da equação f( x) = g( x) que pertencem ao intervalo ] O, 7C] Ora, f(x) = g(x) " Z senx = senx X Para x pertencente ao intervalo ] o, 7C], tem-se x ofa O . Por isso, tem-se que Z senx = senx " Zxsenx = senx " senx(Zx - 1 ) = 0 " X " senx = O V Zx - 1 = 0 " x = K V x = .1 2 Portanto, as abcissas, pertencentes ao intervalo ] O, 7C ] , dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções são � e 7C 335 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e) Tem-se que f(x) = k " 2 senx = k " senx = � 10. a) Para que esta equação tenha exatamente uma solução no intervalo [-ir, ir ] , � tem de ser igual a 1 ou a -1. Portanto, k = -2 V k = 2 '( ) . g(x) - g(ü) 1 . 2 + sen(4x) - [2 + sen(ü )] g O = hm = im --�-��--�� x -. o x- 0 x_,.o x . 2 + sen(4x) - 2 = hm --��-- x-. o X . sen(4x) hm -�� X -> Ü X sen(4x) = 4 x lim - 4 x 1 = 4 x-0 4x 1 . 4sen(4x) im --�� x-0 4x b) g'(x) = [2 + sen(4x)]' =4 cos(4x) g'(x) = O " cos(4x) = ü " 4x = � + kir, k E l " x = � + k4ir , k E l No intervalo ] O, � [• existem duas soluções: � e 3; ir 3 ir ir X o 8 8 2 g ' + o - o + g !' máx. ' mín. !' Portanto, no intervalo ] o, � [. tem-se que: • a função é crescente em ] O, � ] e em [ 38ir, � [ • a função é decrescente em [ �, 3; ] • a função tem um máximo relativo para x = � e um mínimo relativo para x = 38ir • g( � ) = 2 + sen( ", ir ) = 2 + sen( � ) = 2 + 1 = 3 (máximo ) • g( 3;) = 2+ sen(1�ir ) = 2 + sen( 32 ir ) = 2 - 1 = 1 (mínimo) 336 SOLUÇÕES 11. Tem-se: 2 sen(x) cos(x) + 2 = 1 "' sen(2x) + 2 = 1 "' "' sen(Zx) = -1 "' Zx = 3F + Z kir, k E Z "' x = 34 ir + kir, k E Z 12. Como x E [O, ir ] , vem x = 34 ir As coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de f com a reta y = 1 são ( 34 ir , 1 ) lim /(x) = lim 3 senx x_,_o- x_,.o- x2 ] . [ 3 senx ] 1 IID - X -- = -oo X = -oo x_,_Q- X X Portanto, a reta de equação x = O é assíntota vertical do gráfico de f Como f é contínua em [-ir, o [ e em ]o, +oo[, o gráfico de f não tem mais assíntotas verticais. 13. Tem-se lim /( x) = lim e-4x+l = e-00 = O x_,.+oo x_,.+co Portanto, a reta de equação y = O é assíntota horizontal do gráfico de f Como o domínio de f é minorado, o gráfico de f não tem mais assíntotas. a) A função f é contínua em [ O, ir[, pois neste intervalo é definida pela soma de duas funções contínuas: uma função constante e uma função que é composta de uma função logarítmica com uma função afim. A função f é também contínua em ] ir, 2 ir], pois neste intervalo é definida pela composta de duas funções contínuas: uma função trigonométrica e uma função afim. b) A função f não é contínua no ponto ir, pois lim /( x) = -oo x- rr Para O :S x < ir: l + ln(ir - x) = ü "' ln(ir - x) = -1 "' ir - x = e-1 "' x = ir - .1 e Para ir :<::; x :<::; Z ir: cos(Zx) = ü "' x = 54 ir V x = 74 ir Portanto, os zeros de f são: ir _ .1 S ir e 7ir e ' 4 4 e) /(a) = cos(2a) = cos2a - sen2a= � - � = -� 337 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 14. a) f é contínua em JR-, pois é soma de duas funções contínuas: uma função constante e uma função que é produto de uma função quadrática pela composta de uma função exponencial com uma função afim. f é contínua em JR+, pois é quociente de duas funções contínuas, em que uma é a soma de uma função afim com uma função trigonométrica e a outra é uma função afim. f não é contínua no ponto O, pois lim f(x) = l e lim f(x) = lim (1 + senx ) = 2 x-o- x-o+ x-o+ X b) Para x < O, tem-se: f'( X) = (x2)' ex+l + x2 ( ex+l )' = 2xex+l + xZex+l 2xex+1 + x2ex+1 = 0 " ex+1 (2x + x2) = 0 " x(2 +x) = 0 Concluímos assim que - 2 é o único zero de f' para x < O X -oo -2 o f' + o - o + f /' máx. ' Portanto, f admite um único máximo no intervalo ] -oo, o [ , que é f(-2 ) = 1 + ± e c) Para x > O, tem-se: f(x) = l " senx = O " x = krc, com k E N Existem, portanto, infinitos pontos de intersecção da reta r com o gráfico de f 15. a) h(x) = (ex-1)' - (senx)' = ex-1 - cosx 338 A função h é contínua no interva lo [ O, � ], pois é diferença de duas funções contínuas. Tem-se que: h( O ) = e-1 - cos O = 1- _ 1 " -0,63 e Como a função h é contínua no intervalo [ O, � ] e como h ( O) < O e h( � ) > O, o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, � ] b) Da alínea a) resulta que existe a E [O, �] tal que h ( a) = O 16. Ora, h(a) = O � f'(a) - g'(a) = O � f'(a