eterminar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada d...

Primeiramente, vamos encontrar a derivada da função f(x) = 2x³ - 4x² + 2x - 1: f(x) = 2x³ - 4x² + 2x - 1 f'(x) = 6x² - 8x + 2 Agora, vamos encontrar a função inversa de f(x): y = 2x³ - 4x² + 2x - 1 x = 2y³ - 4y² + 2y - 1 Trocando x por y e y por x: y = 2x³ - 4x² + 2x - 1 y = f(x) x = 2y³ - 4y² + 2y - 1 x = f⁻¹(y) Agora, vamos encontrar a derivada da função inversa f⁻¹(x) no ponto (2, 3): f'(x) = 6x² - 8x + 2 f'(f⁻¹(x)) = 6(f⁻¹(x))² - 8(f⁻¹(x)) + 2 No ponto (2, 3), temos: f(2) = 2(2)³ - 4(2)² + 2(2) - 1 = 7 f'(2) = 6(2)² - 8(2) + 2 = 16 Agora, vamos encontrar a derivada da função inversa f⁻¹(x) no ponto y = 7: f'(f⁻¹(7)) = 6(f⁻¹(7))² - 8(f⁻¹(7)) + 2 Para encontrar f⁻¹(7), resolvemos a equação x = 2y³ - 4y² + 2y - 1 para y: 7 = 2x³ - 4x² + 2x - 1 2x³ - 4x² + 2x - 8 = 0 x³ - 2x² + x - 4 = 0 Podemos usar o método de Newton-Raphson para encontrar uma aproximação para a raiz dessa equação: x₁ = 2 (valor inicial) x₂ = x₁ - (x₁³ - 2x₁² + x₁ - 4) / (3x₁² - 4x₁ + 1) = 1.875 x₃ = x₂ - (x₂³ - 2x₂² + x₂ - 4) / (3x₂² - 4x₂ + 1) = 1.865 x₄ = x₃ - (x₃³ - 2x₃² + x₃ - 4) / (3x₃² - 4x₃ + 1) = 1.864 Portanto, f⁻¹(7) ≈ 1.864. Agora, substituindo na fórmula da derivada da função inversa: f'(f⁻¹(7)) = 6(f⁻¹(7))² - 8(f⁻¹(7)) + 2 f'(f⁻¹(7)) = 6(1.864)² - 8(1.864) + 2 f'(f⁻¹(7)) ≈ -5.5 Assim, a alternativa correta é letra B) -5,5.