Encontre as soluções da equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 0 \). As soluções são \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) e \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \...

Para encontrar as soluções da equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 0 \), podemos usar identidades trigonométricas para simplificar a equação. Primeiro, podemos usar a identidade \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \). Substituindo isso na equação original, obtemos: \[ 1 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \] Agora, podemos fazer uma substituição, por exemplo, \( u = \sin(x) \), o que nos dá a equação quadrática: \[ -2u^2 + u + 1 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de \( u \), que correspondem aos valores de \( \sin(x) \). Em seguida, podemos encontrar os valores de \( x \) usando esses valores de \( \sin(x) \) e as relações trigonométricas. Portanto, as soluções da equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 0 \) são \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) e \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \), onde \( n \) é um inteiro.