Resolva a equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 0 \). As soluções são \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n \) e \( x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n ...

Para resolver a equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 0 \), podemos usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão. Primeiro, podemos usar a identidade \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \). Substituindo isso na equação, obtemos: \( 1 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \) Agora, podemos fazer uma substituição, por exemplo, \( u = \sin(x) \), o que nos dá a equação quadrática: \( -2u^2 + u + 1 = 0 \) Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de \( u \) e, em seguida, usamos esses valores para encontrar os valores de \( x \). Portanto, as soluções corretas para a equação são \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n \) e \( x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n \), onde \( n \) é um inteiro.