Considera a função: t² d²y/dt² - t dy/dt + y = 0 . Encontre qual tipo de solução geral do problema . Utilize como possivel a equação auxiliar de Eu...

A equação diferencial apresentada é uma equação de Euler-Cauchy, que pode ser escrita como: t²y'' - ty' + y = 0 Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar as raízes da equação auxiliar: am² + bm + c = 0 Substituindo os valores de a, b e c, temos: t²m² - tm + 1 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes: m1 = (1 + √5)/2 m2 = (1 - √5)/2 A solução geral da equação diferencial é dada por: y(t) = c1 * t^m1 + c2 * t^m2 Agora, vamos analisar os três casos possíveis: Caso 1: m1 e m2 são números reais e diferentes Nesse caso, a solução geral é dada pela fórmula acima. Caso 2: m1 e m2 são números reais e iguais Nesse caso, a solução geral é dada por: y(t) = (c1 + c2 * ln(t)) * t^m1 Caso 3: m1 e m2 são números complexos conjugados Nesse caso, a solução geral é dada por: y(t) = t^α * (c1 * cos(β * ln(t)) + c2 * sen(β * ln(t))) Onde α e β são dados por: α = Re(m1) = Re(m2) β = Im(m1) = Im(m2) Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: y(t) = c1 * t^((1 + √5)/2) + c2 * t^((1 - √5)/2) E essa equação se encaixa no Caso 1, já que m1 e m2 são números reais e diferentes.