Autovetores são vetores especiais que mantêm sua direção quando uma transformação linear é aplicada a eles. Em outras palavras, quando uma matriz é...

I. Para encontrar o polinômio característico de T, precisamos calcular a matriz A associada à transformação linear T e, em seguida, calcular o determinante da matriz (A - λI), onde I é a matriz identidade e λ é um escalar. Assim, temos: A = [ -3 5 ] [ -1 3 ] A - λI = [ -3 - λ 5 ] [ -1 3 - λ ] det(A - λI) = (-3 - λ)(3 - λ) - (-1)(5) = λ² - 6λ + 8 Portanto, o polinômio característico de T é λ² - 6λ + 8. II. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação λ² - 6λ + 8 = 0. Podemos fazer isso usando a fórmula de Bhaskara: λ = (6 ± √(6² - 4(1)(8))) / 2 λ = 3 ± 1 Assim, os autovalores são λ1 = 4 e λ2 = 2. III. Para encontrar os autovetores, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde v é um vetor coluna. Para λ1 = 4, temos: A - 4I = [ -7 5 ] [ -1 -1 ] (-7)v1 + 5v2 = 0 -v1 - v2 = 0 Assim, podemos escolher v1 = 1 e, portanto, v2 = -1. Logo, o autovetor correspondente a λ1 é v1 = [ 1, -1 ]. Para λ2 = 2, temos: A - 2I = [ -5 5 ] [ -1 1 ] (-5)v1 + 5v2 = 0 -v1 + v2 = 0 Assim, podemos escolher v1 = 1 e, portanto, v2 = 1. Logo, o autovetor correspondente a λ2 é v2 = [ 1, 1 ]. IV. Para representar o vetor w = (2, 2) no plano cartesiano, basta traçar uma reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 2). Para encontrar o vetor resultante após a transformação, basta aplicar a transformação T ao vetor w: T(2, 2) = (-3(2) + 5(2), -(2) + 3(2)) = (4, 4) Assim, o vetor resultante após a transformação é v = (4, 4). Podemos representar os vetores w e v no plano cartesiano: ``` | 3 | . (2, 2) | / 2 | / |/ 1 +--------------+ 1 2 3 ``` V. Geometricamente, os autovalores e autovetores nos permitem entender como a transformação linear T afeta os vetores no plano. Os autovetores são vetores especiais que mantêm sua direção quando a transformação linear é aplicada a eles, enquanto os autovalores determinam a quantidade de escala que a transformação aplica a esses vetores. No caso de T, os autovetores são [ 1, -1 ] e [ 1, 1 ], e os autovalores são 4 e 2. Isso significa que a transformação T estica o vetor [ 1, -1 ] em 4 vezes e o vetor [ 1, 1 ] em 2 vezes, mantendo suas direções originais. Algebricamente, podemos usar os autovalores e autovetores para diagonalizar a matriz A associada à transformação T. Isso nos permite simplificar a representação da transformação e facilitar cálculos futuros.