Encontre os autovalores e autovetores da matriz B =  1 2 2 1

Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz B = \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \], primeiro você precisa calcular os autovalores. Os autovalores são as raízes do polinômio característico dado por det(B - λI) = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Calculando det(B - λI): \[ \begin{vmatrix} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{vmatrix} = (1 - λ)(1 - λ) - 2 \times 2 = λ^2 - 2λ - 3 = 0 \] Resolvendo a equação característica, obtemos os autovalores λ1 = 3 e λ2 = -1. Para encontrar os autovetores correspondentes, substitua os autovalores na equação (B - λI)v = 0 e resolva para v. Para λ = 3: \[ \begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Resolvendo o sistema de equações, obtemos o autovetor correspondente ao autovalor 3. Para λ = -1, siga o mesmo procedimento para encontrar o segundo autovetor. Espero que isso ajude!