Determine os valores reais de a e b para que o polinômio p(x) = x³ + 12x² + ax + b seja um cubo perfeito. A. a= 48 e b = 64 B. a= 24 e b = 64 C. a...

Para que o polinômio \( p(x) = x^3 + 12x^2 + ax + b \) seja um cubo perfeito, os valores de \( a \) e \( b \) devem satisfazer as seguintes condições: 1. O coeficiente do termo quadrático deve ser igual a \( (3/2)^2 = 9 \) vezes o coeficiente do termo linear elevado ao quadrado, ou seja, \( 12 = 9a^2 \). 2. O termo constante deve ser igual ao coeficiente do termo linear elevado ao cubo, ou seja, \( b = a^3 \). Analisando as alternativas: A. \( a = 48 \) e \( b = 64 \) B. \( a = 24 \) e \( b = 64 \) C. \( a = 48 \) e \( b = 24 \) D. \( a = -24 \) e \( b = 48 \) Analisando a alternativa A: 1. \( 12 = 9a^2 \) implica em \( a^2 = 12/9 \) e \( a = \pm \sqrt{4/3} \), o que não é um número inteiro. 2. \( b = a^3 \) implica em \( b = (\pm \sqrt{4/3})^3 = \pm (4/3)\sqrt{4/3} \), o que também não é um número inteiro. Portanto, nenhuma das alternativas fornecidas satisfaz as condições para que o polinômio seja um cubo perfeito.