Determine o valor da integral \(\iint_{S} 2e^{x^2} dx\ dy\), com \(S\ = \left \{ (x, y) \in R^2\ 0 \le x \le y \le 1\ e\ 0 \le y \le x \right \}\) ...

Para determinar o valor da integral \(\iint_{S} 2e^{x^2} dx\ dy\), com \(S\ = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2\ 0 \le x \le y \le 1\ e\ 0 \le y \le x \right \}\), primeiro vamos resolver a integral. \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} 2e^{x^2} dx\ dy\) Integrando em relação a \(x\), temos: \(\int 2e^{x^2} dx = 2\int e^{x^2} dx\) Fazendo a substituição \(u = x^2\), temos \(du = 2x dx\), e a integral se torna: \(2\int e^{x^2} dx = 2\int e^u \frac{du}{2} = 2\int e^u du = 2e^u + C = 2e^{x^2} + C\) Agora, vamos integrar em relação a \(y\), mantendo \(x\) entre 0 e \(y\), e \(y\) entre 0 e 1: \(\int_{0}^{1} 2e^{y^2} - 2e^{0} dy\) \(\int_{0}^{1} 2e^{y^2} - 2 dy = 2\int_{0}^{1} e^{y^2} dy - 2\int_{0}^{1} 1 dy\) A integral de \(e^{y^2}\) não possui uma forma simples em termos de funções elementares, então a resposta final não pode ser simplificada para uma das opções fornecidas.