Questão 14 b Propriedade 12. Dada f : A→ B então 1. ∀ X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)). 2. f é injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A. ê Demonstração. ...

Questão 14
b Propriedade 12. Dada f : A→ B então

1. ∀ X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)).

2. f é injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A.

ê Demonstração.

1. f−1(f(X)) é o conjunto dos elementos x ∈ A tal que f(x) ∈ f(X) então vale claramente que X ⊂ f−1(f(X)), pois dado a ∈ X tem-se que f(a) ∈ f(X).

2. ⇒). Suponha f injetora, já sabemos que X ⊂ f−1(f(X)) pelo item anterior, vamos provar agora que f−1(f(X)) ⊂ X suponha por absurdo que exista y /∈ X tal que f(y) ∈ f(X), f(y) = f(x) para y /∈ X e x ∈ X, então f não é injetora o que contraria a hipótese então deve valer a inclusão que querı́amos mostrar e portanto a igualdade dos conjuntos.

⇐). Suponha que f−1f(X) = X, ∀ X ⊂ A, vamos mostrar que f é injetora. Suponha que f não é injetora então existem x 6= y tais que f(x) = f(y), sendo X = {x}, Y = {y} daı́ f−1f(X) 6⊂ X pois Y ⊂ f−1f(X), Y 6⊂ X. O que é absurdo então f é injetora.