Questão 15 b Propriedade 13. Seja f : A→ B, então vale que 1. Para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z. 2. f é sobrejetiva ⇔, f(f−1(Z)) = Z ∀ Z, ...

Questão 15
b Propriedade 13. Seja f : A→ B, então vale que

1. Para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z.

2. f é sobrejetiva ⇔, f(f−1(Z)) = Z ∀ Z, Z ⊂ B.

ê Demonstração.

1. f−1(Z) é subconjunto de A que leva elemento em Z por f, então é claro que a imagem de tal conjunto por f está contida em Z.

2. ⇒ ) Suponha que f seja sobrejetiva. Já sabemos que para qualquer função f vale que f(f−1(Z)) ⊂ Z, em especial vale para f sobrejetiva, temos que provar que se f é sobrejetiva, vale a outra inclusão Z ⊂ f(f−1(Z)).

Seja z ′ ∈ Z arbitrário então, existe x ∈ A tal que f(x) = z ′, pois f é sobrejetora , daı́ x ∈ f−1(Z), pois tal é o conjunto de A que leva elementos em Z, mas isso significa também que Z ⊂ f(f−1(Z)), pois um z ′ ∈ Z arbitrário é imagem de elemento de f−1(Z), como querı́amos demonstrar.

⇐). Suponha que vale f(f−1(Z)) = Z, ∀ Z ⊂ B, vamos mostrar que f : A → B é sobrejetiva . Seja y ∈ B qualquer, tomamos Z = {y}, temos que f(f−1(Z)) = Z , em especial Z ⊂ f(f−1(Z)), portanto f(f−1(Z)) não é vazio e daı́ f−1(Z) também não é vazio, sendo esse último o conjunto dos elementos x ∈ A tais que f(x) = z, logo f é sobrejetiva, pois z ∈ Z foi um elemento arbitrário tomado no contradomı́nio é imagem de pelo menos um elemento de A.