Transferência de Calor e Massa

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U M A A B O R D A G E M P R Á T I C A
4ª Edição
com Unidades no Sistema Internacional
Inclui CD
Com programa EES para
resolução de problemas
Yunus A. Çengel
Afshin J. Ghajar
Transferência de
Calor e Massa
Catalogação na publicação: Natascha Helena Franz Hoppen CRB-10/2150
Ç99t Çengel, Yunus A.
 Transferência de calor e massa [recurso eletrônico] : uma
 abordagem prática / Yunus A. Çengel, Afshin J. Ghajar ;
 adaptado por Mehmet Kanoglu ; tradução: Fátima A. M. Lino ;
 revisão técnica: Kamal A. R. Ismail. – 4. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Edição com unidades no SI.
 Editado também como livro impresso em 2012. 
 ISBN 978-85-8055-128-0
 1. Engenharia. 2. Engenharia – Transferência de calor.
 3. Energia térmica. I. Título. II. Ghajar, Afshin J. III. Kanoglu,
 Mehmet.
CDU 621.3.036.2
746 Transferência de Calor e Massa
13–3 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO: 
SUPERFÍCIES NEGRAS
Até aqui, consideramos a natureza da radiação, as propriedades da radiação dos 
materiais e os fatores de forma. Estamos, agora, em posição de considerar a taxa 
de transferência de calor por radiação entre superfícies. A análise da troca de ra-
diação entre superfícies costuma ser complicada por causa da reflexão: um feixe 
de radiação que deixa uma superfície pode ser refletido por diversas vezes, com 
reflexões parciais ocorrendo em cada uma, antes de ser completamente absorvi-
do. A análise é bastante simplificada quando as superfícies envolvidas podem ser 
aproximadas como corpos negros por causa da ausência de reflexão. Nesta seção, 
consideraremos apenas a troca de radiação entre as superfícies negras; vamos es-
tender a análise para superfícies refletoras na próxima seção.
Considere duas superfícies negras de forma arbitrária mantidas em tempera-
turas uniformes T1 e T2, como mostrado na Fig. 13–18. Reconhecendo que a ra-
diação deixa a superfície negra a uma taxa de Eb � �T4 por unidade de superfície 
e que o fator de forma F1 → 2 representa a fração da radiação que deixa a superfície 
1 e atinge a superfície 2, a taxa líquida de transferência de calor por radiação da 
superfície 1 para a superfície 2 pode ser expressa como
Radiação que deixa 
toda a superfície 1 e 
atinge a superfície 2
Radiação que deixa 
toda a superfície 2 e 
atinge a superfície 1
(13–18)
Aplicando a relação de reciprocidade A1 F1 → 2 � A2 F2 → 1, temos
(13–19)
T1
A1
T2
A2
Q12
·
2
1
FIGURA 13–18 Duas superfícies 
negras gerais mantidas nas temperaturas 
uniformes T1 e T2.
3 e 4) formam um recinto de quatro superfícies. Então, aplicando a regra da adição à 
superfície 1, obtemos
mas F11 � 0, já que esta é uma superfície plana. Portanto,
onde os fatores de forma F13 e F14 podem ser determinados considerando os triângu-
los ABC e ABD, respectivamente. Aplicando a Eq. 13–15 do fator de forma entre os 
lados do triângulo, obtemos
Substituindo,
que é o resultado desejado. Esta é também uma miniprova do método das linhas cru-
zadas para o caso de duas superfícies planas paralelas infinitamente longas.
(continuação)
 Capítulo 13 Transferência de Calor por Radiação 747
que é a relação desejada. Um valor negativo para 1 → 2 indica que a taxa líquida de 
transferência de calor por radiação é da superfície 2 para a superfície 1.
Agora considere um recinto que consiste em N superfícies negras mantidas 
nas temperaturas especificadas. A taxa líquida de transferência de calor por radia-
ção a partir de qualquer superfície i desse recinto é determinada pela soma da taxa 
líquida de transferência de calor por radiação da superfície i para cada uma das 
superfícies do recinto:
 
(13–20)
Novamente, um valor negativo de indica que a taxa líquida de transferência de 
calor por radiação é para a superfície i (ou seja, a superfície i ganha energia de ra-
diação em vez de perder). Além disso, a taxa líquida de transferência de calor a par-
tir da superfície para si própria é zero, independentemente da forma da superfície.
EXEMPLO 13–6 Transferência de calor por radiação em um forno negro
Considere o forno cúbico de 5 m � 5 m � 5 m mostrado na Fig. 13–19, cujas super-
fícies se aproximam de superfícies negras. As superfícies da base, superior e laterais 
do forno são mantidas em temperaturas uniformes de 800 K, 1.500 K e 500 K, res-
pectivamente. Determine (a) a taxa líquida de transferência de calor por radiação en-
tre a base e as faces laterais, (b) a taxa líquida de transferência de calor por radiação 
entre as superfícies superior e da base e (c) a taxa líquida de transferência de calor 
por radiação a partir da superfície da base.
SOLUÇÃO As superfícies do forno cúbico são negras e mantidas em temperaturas 
uniformes. Determinar a taxa líquida de transferência de calor por radiação entre a 
base e as superfícies laterais, entre a base e as superfícies superiores e da própria 
superfície da base.
Suposições As superfícies são negras e isotérmicas.
Análise (a) A geometria envolve seis faces, e podemos ser tentados inicialmente a 
tratar o forno como um recinto de seis superfícies. No entanto, as quatro faces late-
rais têm as mesmas propriedades, e podemos tratá-las como única superfície lateral 
na análise da radiação. Consideramos a superfície 1 como a da base; a superfície 
superior como a 2 e as superfícies laterais como a 3. Então, o problema se reduz a 
determinar 1 → 3, 1 → 2 e 1.
A taxa líquida de transferência de calor por radiação 1 → 3 a partir da superfície 
1 para a superfície 3 pode ser determinada a partir da Eq. 13–19, já que ambas as 
superfícies envolvidas são negras, substituindo o subscrito 2 por 3:
Mas primeiro temos de avaliar o fator de forma F1→3. Depois de verificar os gráficos 
e as tabelas de fator de forma, percebemos que não podemos determinar esse fator 
de maneira direta. No entanto, podemos determinar o fator de forma F1 → 2 da Fig. 
13–5 como F1 → 2 � 0,2, sabendo que F1 → 1 � 0, já que a superfície 1 é plana. Então, 
aplicando a regra da adição à superfície 1, temos
ou
Substituindo,
 
1
T2 � 1.500 K
T3 � 500 K
T1 � 800 K
3
2
FIGURA 13–19 Forno cúbico de 
superfícies negras considerado no
Exemplo 13–6.
(continua)
748 Transferência de Calor e Massa
13–4 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO: 
SUPERFÍCIES DIFUSA E CINZA
Como vimos, a análise da transferência de radiação em recintos constituídos de 
superfícies negras é relativamente fácil, mas a maioria dos recintos encontrados 
na prática envolve superfícies não negras, que permitem a ocorrência de múltiplas 
reflexões. A análise da radiação desses recintos se torna muito complicada, a não 
ser que sejam feitas algumas hipóteses simplificadoras.
Para possibilitar uma análise simples da radiação, é comum considerar as super-
fícies do recinto opacas, difusas e cinza, ou seja, superfícies não transparentes, que 
são emissoras difusas e refletoras difusas e têm propriedades de radiação indepen-
dentes do comprimento de onda. Deve-se considerar também que cada superfície do 
recinto é isotérmica, e as radiações que entram e saem são uniformes em cada super-
fície. Mas primeiro vamos rever o conceito de radiosidade introduzido no Cap. 12.
Radiosidade
As superfícies emitem e refletem radiação, sendo que esta, ao deixar a superfície, 
constitui-se por partes emitidas e refletidas. O cálculo da transferência de calor por 
radiação entre superfícies envolve a energia de radiação total que deixa a superfí-
cie, sem nenhuma importância sobre sua origem. A energia de radiação total que 
deixa a superfície por unidade de tempo e por unidade de área é a radiosidade, 
denotada por J (Fig. 13–20).
Para uma superfície i que é cinza e opaca (�i � �i e �i � �i � 1), a radiosida-
de pode ser expressa como
 
Radiação emitida
pela superfície i
Radiação refletida
pela superfície i
 (13–21)
Superfície
Radiação
incidente
Radiação
refletida
Radiação
emitida
Radiosidade, J
G
�G �Eb
FIGURA 13–20 A radiosidade representa 
a soma da energia de radiação emitida e 
refletida por uma superfície.
(b) Ataxa líquida de transferência de calor por radiação 1→2 da superfície 1 para a 
superfície 2 é determinada de forma semelhante a partir da Eq. 13–19 como
O sinal negativo indica que a taxa líquida de transferência de calor por radiação é da 
superfície 2 para a superfície 1.
(c) A taxa líquida de transferência de calor por radiação a partir da superfície da 
base 1 é determinada a partir da Eq. 13–20, substituindo o subscrito i por 1 e toman-
do N � 3:
Mais uma vez, o sinal negativo indica que a taxa líquida de transferência de calor por 
radiação é para a superfície 1, ou seja, a base do forno está ganhando radiação a uma 
taxa líquida de 925 kW.
(continuação)
Capítulo 13 Transferência de Calor por Radiação 749
onde Ebi � �Ti
4 é a potência emissiva de corpo negro da superfície i e Gi é a irra-
diação (ou seja, a energia de radiação incidente sobre a superfície i por unidade de 
tempo por unidade de área).
Para uma superfície que pode ser aproximada como corpo negro (�i � 1), a 
relação da radiosidade se reduz a
(13–22)
ou seja, a radiosidade do corpo negro é igual à sua potência emissiva. Isso é 
esperado, já que o corpo negro não reflete nenhuma radiação, portanto a radiação 
proveniente do corpo negro é devida unicamente à emissão.
Transferência líquida de calor por radiação 
para ou a partir de uma superfície
Durante a interação da radiação, a superfície perde energia emitindo radiação e ga-
nha energia absorvendo a radiação emitida por outras superfícies. Uma superfície 
experimenta um ganho líquido ou uma perda líquida de energia, dependendo da 
quantidade que for maior. A taxa líquida de transferência de calor por radiação a 
partir da superfície i de área Ai é denotada por i e expressa como
Radiação que deixa 
a superfície inteira i
Radiação que incide 
sobre a superfície inteira i
(13–23)
Resolvendo para Gi a partir da Eq. 13–21 e substituindo na Eq. 13–23, temos
(13–24)
Em uma analogia elétrica à lei de Ohm, essa Eq. pode ser reajustada como
(13–25)
onde
(13–26)
é a resistência da superfície à radiação. A quantidade Ebi � Ji corresponde à dife-
rença de potencial, e a taxa líquida de transferência de calor por radiação corres-
ponde à corrente na analogia elétrica, conforme ilustrado na Fig. 13–21.
A direção da taxa líquida de transferência de calor por radiação depende da 
importância relativa de Ji (radiosidade) e Ebi (potência emissiva do corpo negro na 
temperatura da superfície). É a partir da superfície se Ebi � Ji e para a superfície 
se Ji � Ebi. Um valor negativo para i indica que a transferência de calor é para a 
superfície. Toda a energia de radiação ganha deve ser removida do outro lado da 
superfície por meio de algum mecanismo para que a temperatura da superfície se 
mantenha constante.
A resistência da superfície à radiação para um corpo negro é zero já que �i � 
1 e Ji � Ebi. A taxa líquida de transferência de calor por radiação, nesse caso, é 
determinada diretamente a partir da Eq. 13–23.
Algumas superfícies encontradas em numerosas aplicações práticas de trans-
ferência de calor são modeladas como adiabáticas, já que os lados de trás são bem 
.
Qi
Ri � ——––
1 � �i 
Ai�i
Ji
Ebi
Superfície
i
FIGURA 13–21 Analogia elétrica da 
resistência da superfície à radiação.
750 Transferência de Calor e Massa
isolados e a transferência líquida de calor através deles é zero. Quando os efeitos 
de convecção no lado da frente (transferência de calor) de tal superfície são des-
prezíveis e as condições de regime permanente são alcançadas, a superfície deve 
perder tanta energia de radiação quanto ganha, portanto, i � 0. Nesses casos, diz-
-se que a superfície está rerradiando toda a energia de radiação que recebe, e tal 
superfície é chamada superfície rerradiante. Fazendo i � 0 na Eq. 13–25, temos
 (13–27)
Portanto, a temperatura da superfície rerradiante sob condições permanentes pode 
ser facilmente determinada a partir da equação acima, uma vez que sua radiosida-
de seja conhecida. Note que a temperatura da superfície rerradiante é independente 
da sua emissividade. Na análise de radiação, a resistência da superfície de uma 
superfície rerradiante é ignorada, pois não há transferência líquida de calor através 
dela. (Isso se assemelha ao fato de que não há necessidade de se considerar a resis-
tência elétrica em um circuito elétrico caso não haja corrente fluindo.)
Transferência líquida de calor por radiação 
entre duas superfícies quaisquer
Considere duas superfícies difusas, cinza e opacas, de geometria arbitrária, manti-
das a temperaturas uniformes como mostrado na Fig. 13–22. Reconhecendo que a 
radiosidade J representa a taxa de radiação que deixa a superfície por unidade de 
área e que o fator de forma Fi → j representa a fração da radiação que deixa a super-
fície i e atinge a superfície j, a taxa líquida de transferência de calor por radiação a 
partir da superfície i para a superfície j pode ser expressa como
 
Radiação que deixa a 
superfície inteira i e 
atinge a superfície j 
Radiação que deixa a 
superfície inteira j e 
atinge a superfície i 
 
(13–28)
Aplicando a relação de reciprocidade Ai Fi → j � Aj Fj → i, temos
 (13–29)
Mais uma vez, em analogia à lei de Ohm, essa equação pode ser rearranjada como
 
(13–30)
onde
 
(13–31)
é a resistência de espaço à radiação. Novamente, a quantidade Ji � Jj corresponde à 
diferença de potencial, e a taxa líquida de transferência de calor entre duas superfí-
cies corresponde à corrente na analogia elétrica, conforme ilustrado na Fig. 13–22.
A direção da taxa líquida de transferência de calor por radiação entre duas 
superfícies depende da importância relativa de Ji e Jj. Um valor positivo para i → j 
indica que a transferência líquida de calor se dá a partir da superfície i para a su-
perfície j. Um valor negativo indica o contrário.
No recinto com N superfícies, o princípio da conservação da energia exige que 
a transferência líquida de calor a partir da superfície i seja igual à soma das trans-
.
Qij
Rj
Rij � ——
Jj
Ri
Ji
AiFij
Ebi
Ebj
Superfície i
Superfície j
1
FIGURA 13–22 Analogia elétrica da 
resistência do espaço à radiação.
Capítulo 13 Transferência de Calor por Radiação 751
ferências líquidas de calor a partir da superfície i para cada uma das N superfícies 
do recinto, ou seja,
(13–32)
A representação da rede de transferência líquida de calor por radiação da superfí-
cie i para as superfícies restantes de um recinto de N superfícies é apresentada na 
Fig. 13–23. Note que i → j (taxa líquida de transferência de calor entre a superfície 
e ela própria) é zero, independentemente da forma da superfície. Combinando as 
Eqs. 13–25 e 13–32, obtemos
(13–33)
que tem a interpretação da analogia elétrica segundo a qual o fluxo líquido de ra-
diação da superfície através da resistência da superfície é igual à soma dos fluxos 
de radiação dessa superfície para todas as outras por meio das resistências dos 
espaço correspondentes.
Métodos para solução de problemas de radiação
Na análise da radiação de um recinto, a temperatura ou a taxa líquida de transfe-
rência de calor devem ser indicadas para cada uma das superfícies para se obter 
uma solução única para as temperaturas das superfícies e as taxas de transferência 
de calor desconhecidas. Existem dois métodos comumente utilizados para resolver 
problemas de radiação. No primeiro método, as Eqs. 13–32 (para superfícies com 
taxa de transferência de calor especificada) e 13–33 (para superfícies com tempe-
ratura especificada) são simplificadas e reorganizadas como
Superfície com taxa líquida especificada de troca de calor 
(13–34)
Superfície com temperatura especificada Ti 
(13–35)
Note que i � 0 para superfícies isoladas (ou rerradiantes) e �Ti
4 � Ji para super-
fícies negras, já que �i � 1 neste caso. Além disso, o termo correspondente a j � i 
desaparece de qualquer relação, já que Ji � Jj � Ji � Ji � 0, nesse caso.
As equações acima fornecem N equações algébricas lineares para a determi-nação das N radiosidades desconhecidas para um recinto com N superfícies. De-
pois que as radiosidades J1, J2,. . . , JN estão disponíveis, a taxa de transferência 
de calor desconhecida pode ser determinada por meio da Eq. 13–34, enquanto as 
temperaturas das superfícies desconhecidas podem ser determinadas por meio da 
Eq. 13–35. As temperaturas das superfícies isoladas ou rerradiantes podem ser 
determinadas por meio de �Ti
4 � Ji. Um valor positivo para i indica uma taxa 
líquida de transferência de calor por radiação a partir da superfície i para outras 
superfícies no recinto, enquanto o valor negativo indica uma taxa líquida de trans-
ferência de calor por radiação para a superfície.
A abordagem sistemática descrita aqui para resolver problemas de transfe-
rência de calor por radiação é bastante adequada para utilização com programas 
.
Qi
R i1
R i2
Ri(N–1)
R
iN
Ji
JN
Ebi 
Superfície i
Ri
J2
JN–1
J1
FIGURA 13–23 Rede que representa a 
transferência líquida de calor por radiação 
da superfície i para as superfícies restantes 
de um recinto com N superfícies.
752 Transferência de Calor e Massa
de solução de equações como EES, Mathcad e Matlab, especialmente quando 
há um grande número de superfícies. Esse método é conhecido como método 
direto (anteriormente, método da matriz, uma vez que resultava em matrizes e 
a solução necessitava de conhecimentos de álgebra linear). O segundo método, 
descrito a seguir, chamado método da rede, é baseado na analogia da rede 
elétrica.
O método da rede foi introduzido pela primeira vez por A. K. Oppenheim, na 
década de 1950, e encontrou ampla aceitação por causa de sua simplicidade e da 
ênfase na física do problema. A aplicação do método é simples: desenhar a resis-
tência de superfície associada a cada superfície do recinto e conectá-las com resis-
tências de espaço. Então, resolve-se o problema de radiação tratando-o como um 
problema de rede elétrica, em que a transferência de calor por radiação substitui a 
corrente e a radiosidade substitui o potencial.
O método da rede não é prático para recintos com mais de três ou quatro super-
fícies, em virtude do aumento da complexidade da rede. A seguir, aplicamos esse 
método para resolver problemas de radiação em recintos de duas e três superfícies.
Transferência de calor por radiação 
em recintos de duas superfícies
Considere um recinto constituído por duas superfícies opacas nas temperaturas es-
pecificadas T1 e T2, como mostrado na Fig. 13–24, e tente determinar a taxa líquida 
de transferência de calor por radiação entre as duas superfícies com o método da 
rede. As superfícies 1 e 2 têm emissividades �1 e �2, e as áreas A1 e A2 são mantidas 
em temperaturas uniformes T1 e T2, respectivamente. Existem apenas duas superfí-
cies no recinto, e podemos escrever
ou seja, a taxa líquida de transferência de calor por radiação a partir da superfície 1 
para a superfície 2 deve ser igual à taxa líquida de transferência de calor por radia-
ção a partir da superfície 1 e a taxa líquida de transferência de calor por radiação 
para a superfície 2.
A rede de radiação desse recinto com duas superfícies é constituída por 
duas resistências de superfície e uma resistência de espaço, como mostrado na 
Fig. 13–24. Na rede elétrica, a corrente elétrica que flui por essas resistências li-
gadas em série seria determinada pela divisão da diferença de potencial entre os 
pontos A e B pela resistência total entre os mesmos dois pontos. A taxa líquida de 
transferência de radiação é determinada da mesma forma, expressa como
ou
 
(13–36)
Esse importante resultado é aplicável a quaisquer das duas superfícies cinza, difu-
sas e opacas que formam um recinto. O fator de forma F12 depende da geometria e 
deve ser determinado em primeiro lugar. Formas simplificadas da Eq. 13–36 para 
alguns arranjos familiares que formam um recinto de duas superfícies são apresen-
tadas na Tab. 13–3. Note que F12 � 1 para todos esses casos especiais.
.
Q12
.
Q1
.
Q2
.
Q12
A1
�1
J1 J2
T1
A2
�2
T2
Eb1 Eb2
21
R1 = —–—
A1�1
1 – �1 R12 = —–—
A1F12
1
R2 = —–—
A2�2
1 – �2
FIGURA 13–24 Esquema de um recinto 
de duas superfícies e a rede de radiação a 
ele associada.
 Capítulo 13 Transferência de Calor por Radiação 753
EXEMPLO 13–7 Transferência de calor por radiação entre placas 
paralelas
Duas placas paralelas muito grandes são mantidas em temperaturas uniformes T1 
� 800 K e T2 � 500 K e têm emissividades �1 � 0,2 e �2 � 0,7, respectivamente, 
como mostrado na Fig. 13–25. Determine a taxa líquida de transferência de calor por 
radiação entre as duas superfícies por unidade de área das placas.
SOLUÇÃO Duas grandes placas paralelas são mantidas em temperaturas unifor-
mes. Determinar a taxa líquida de transferência de calor por radiação entre as placas.
Suposições Ambas as superfícies são opacas, difusas e cinza.
Análise A taxa líquida de transferência de calor por radiação entre as duas placas 
por unidade de área é facilmente determinada a partir da Eq. 13–38 como
Discussão Note que calor a uma taxa líquida de 3.625 W é transferido da placa 1 
para a placa 2 por radiação por unidade de área de qualquer placa.
TABELA 13–3
Relações de transferência de calor por radiação para alguns arranjos comuns de duas 
superfícies.
Pequeno objeto em uma cavidade grande
A2, T2, �2
A1, T1, �1
Placas paralelas infinitamente grandes
A1, T1, 	1
A2, T2, 	2
Cilindros concêntricos infinitamente longos
r1 r2
Esferas concêntricas
r1
r2
.
Q12
�1 � 0,2
T1 � 800 K
�2 � 0,7
T2 � 500 K
1
2
FIGURA 13–25 As duas placas paralelas 
consideradas no Exemplo 13–7.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.