51. Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores dos vetores: a) a⃗ = (3, 4, 5); b) b⃗ = (1,−2,−1); c) c⃗ = 2ı̂+ 3ȷ̂− 6k̂; d) c⃗ = 2ı...

Para determinar os cossenos diretores e os ângulos diretores dos vetores fornecidos, primeiro precisamos calcular o módulo de cada vetor e, em seguida, os cossenos diretores. a) Para o vetor a⃗ = (3, 4, 5): O módulo de a⃗ é dado por |a⃗| = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50. Os cossenos diretores são: cos(α) = 3/√50, cos(β) = 4/√50 e cos(γ) = 5/√50. b) Para o vetor b⃗ = (1, -2, -1): O módulo de b⃗ é dado por |b⃗| = √(1² + (-2)² + (-1)²) = √(1 + 4 + 1) = √6. Os cossenos diretores são: cos(α) = 1/√6, cos(β) = -2/√6 e cos(γ) = -1/√6. c) Para o vetor c⃗ = 2ı̂ + 3ȷ̂ - 6k̂: O módulo de c⃗ é dado por |c⃗| = √(2² + 3² + (-6)²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Os cossenos diretores são: cos(α) = 2/7, cos(β) = 3/7 e cos(γ) = -6/7. d) Para o vetor d⃗ = 2ı̂ - ȷ̂ + 2k̂: O módulo de d⃗ é dado por |d⃗| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3. Os cossenos diretores são: cos(α) = 2/3, cos(β) = -1/3 e cos(γ) = 2/3. Esses são os cossenos diretores e ângulos diretores para os vetores fornecidos.