Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2(x) \, dx \)? a) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) b) \( \frac{1}{2} \) c) \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) d) ...

Para resolver a integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Substituindo na integral, temos: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \) Integrando termo a termo, obtemos: \( \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2x) \, dx \) A integral de \( 1 \) em relação a \( x \) é simplesmente \( x \), e a integral de \( \cos(2x) \) é \( \frac{\sin(2x)}{2} \). Agora, avaliando de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{6} \): \( \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right] \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{6}} \) Substituindo \( \frac{\pi}{6} \) e \( 0 \) na expressão acima e simplificando, obtemos o valor da integral. Analisando as alternativas: a) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) b) \( \frac{1}{2} \) c) \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) A resposta correta é a letra b) \( \frac{1}{2} \).